Сумма сочетаний

[Unconnected]

Вычислить $\sum_{k=0}^{4n}\alpha_k\cdot\textrm{C}_{k}^{4n}$, где $\alpha_k$ - остаток от деления k на 4.
Тут, кажется, какой-то комплексный прикол и можно как бином представить.. пробовал вынести 1, 2, 3 за скобки, слегка упрощалось, но всё равно не придумал таких чисел чтобы $a^{0}\cdot b^{4n} =0$

[Sonic86]

Так, ну если никакого варианта не будет, то можно так: суммы 1 и 3 можно сгруппировать и вместе легко вычислить. Остается $\sum\limits_{k=0}^{2n-1}C_{4n}^{4k+2}$. Можно попробовать применить соотношение $C_n^k = C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}$ и там она, кажется, вычисляется (рекуррентно).
Возможно, можно сразу попытаться применять $C_n^k = C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}$.

[Unconnected]

Цитата:

суммы 1 и 3 можно сгруппировать и вместе легко вычислить

А как это? $1\cdot (C_{4n}^{1} + C_{4n}^5 + C_{4n}^9 + ... + C_{4n}^{4n-3}) + 3 \cdot (C_{4n}^3 + C_{4n}^7 + C_{4n}^{11} + ... + C_{4n}^{4n-1})$

[Sonic86]

Тут я использовал это: $C_{4n}^j=C_{4n}^{4n-j}$