2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.
 
 Как вычислить сумму ряда с помощью интеграла?
Сообщение30.11.2011, 14:11 


08/08/09
15
Как вычислить сумму ряда с помощью интеграла?

Интересует либо общий случай: $\sum\limits_{x=0}^{N-1}f(x)$ = \int\limits_{?}^?...dx
либо частный случай: $\sum\limits_{x=0}^{N-1}ae^{bx}$, где e - экспонента

вот так уже пробовал: $\sum\limits_{x=0}^{N-1}ae^{bx} = \int\limits_{0}^N ae^{bx} dx = {\frac a b e^{bx}}|^N_0 = \frac a b e^{bN} - \frac a b = \frac a b (e^{bN} - 1)$
при N = 1 должно получиться $ae^b$, а получается $\frac a b (e^b - 1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вычислить сумму ряда с помощью интеграла?
Сообщение30.11.2011, 14:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
Никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вычислить сумму ряда с помощью интеграла?
Сообщение30.11.2011, 15:03 
Аватара пользователя


25/07/11
54
Киев
ИСН в сообщении #510031 писал(а):
Никак.


Ну, не то чтобы непосредственно вычислять :?, но... Например, "Конкретная математика", глава 2 "Суммы", раздел 2.5 "Общие методы", метод 4: замена сумм интегралами.

Другое дело, что человек почему-то решил, что такая замена даст точные результаты...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вычислить сумму ряда с помощью интеграла?
Сообщение30.11.2011, 15:07 


08/08/09
15
мне не нужны точные результаты - нужны приблизительные с низкой погрешностью, при N > 16

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вычислить сумму ряда с помощью интеграла?
Сообщение30.11.2011, 15:10 
Заслуженный участник


23/07/08
9149
Харьков
Надо заменить функцию $f(x)$ ступенчатой функцией $f([x])$, тем самым сумма сведётся к интегралу от ступенчатой функции.
Кстати, есть метод для вычисления таких интегралов: через суммы. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вычислить сумму ряда с помощью интеграла?
Сообщение30.11.2011, 15:46 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/09/11

650
$\sum \limits_{x=0}^{N-1} a e^{bx}=\frac{a \big (e^{bN}-1 \big )}{e^b-1}$

$\int \limits_0^N \frac{a b e^{bx}}{e^b-1} dx = \frac{a \big (e^{bN}-1 \big )}{e^b-1} $

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вычислить сумму ряда с помощью интеграла?
Сообщение30.11.2011, 16:15 


08/08/09
15
Klad33 в сообщении #510054 писал(а):
$\sum \limits_{x=0}^{N-1} a e^{bx}=\frac{a \big (e^{bN}-1 \big )}{e^b-1}$

$\int \limits_0^N \frac{a b e^{bx}}{e^b-1} dx = \frac{a \big (e^{bN}-1 \big )}{e^b-1} $


почти, методом тыка исправил ошибку:
$\sum \limits_{x=0}^{N-1} e^x=\frac{e^2 \big (e^N-1 \big )}{e-1}$

а как Вы вывели формулу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вычислить сумму ряда с помощью интеграла?
Сообщение30.11.2011, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
Ошибки не было, зато теперь есть. А формулу - видимо, Klad33 учился в секретной школе, где проходят геометрические прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вычислить сумму ряда с помощью интеграла?
Сообщение30.11.2011, 16:22 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/09/11

650
Это слишком известный ряд. Я с ним постоянно имею дело по работе.

-- 30.11.2011, 17:31 --

Верно так:

$\sum \limits_{x=0}^{N-1} e^x=\frac{e^N-1 }{e-1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вычислить сумму ряда с помощью интеграла?
Сообщение30.11.2011, 17:04 


08/08/09
15
ИСН в сообщении #510072 писал(а):
Ошибки не было, зато теперь есть. А формулу - видимо, Klad33 учился в секретной школе, где проходят геометрические прогрессии.


))) смешно

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вычислить сумму ряда с помощью интеграла?
Сообщение02.06.2019, 13:57 
Модератор


20/03/14
11513
 i  Бессодержательные сообщения отделены в «Проблемы с арифметикой»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group