Сходимость ряда

[phys]

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\cos{\dfrac{n^3}{n+1}}$

Предполагаю что расходиться, т.к. можно найти такие $n$ что $a_n < a_{n+1}$.
Например $2$ и $3$.

[lyuk]

Попробуйте использовать необходимое условие сходимости.

[phys]

По необходимому, кстати тоже выходит что предел общего члена вобще не существует потому что $\cos{\infty}$ как бы не определен, но это не говорит о том что он не может сходиться условно, ряд то знакочередующийся.

[ИСН]

Попробуйте полностью использовать необходимое условие сходимости.

[phys]

$ \\ \text{Пусть для знакочередующегося ряда} \\ \sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\,a_n, \; a_n>0 \\ \text{выполняются следующие условия:} \\ a_{n+1} \leq a_n \\ \lim_{n \to \infty} \, a_n = 0 \\ \text{Тогда этот ряд сходится.} \\ $

Не понимаю что вы имеете ввиду, как минимум одно условие нарушено, значит ряд уже расходиться. Да и знакочередующимся он не особо является.

[lyuk]

Посмотрите внимательно необходимое условие сходимости ряда (не обязательно знакочередующегося).

[phys]

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left( (-1)^{n+1}\cos{\dfrac{n^3}{n+1}} \right) = 0$?

[lyuk]

Теперь попробуйте упростить это условие.

[phys]

Подвох видимо в том что знак ряд вовсе не знакочередующийся. Только как его тогда исследовать? Необходимое условие не то что бы не выполнено, сложно сказать чему равен такой предел, но скорее всего он попросту не существует.

[Null]

phys в сообщении #509335 писал(а):

Подвох видимо в том что знак вовсе не знакочередующийся. Только как его тогда исследовать? Необходимое условие не то что бы не выполнено, сложно сказать чему равен такой предел, но скорее всего он попросту не существует.

Ну если предела нет то и ряд не сходиться.

[phys]

В упор не вижу что тут можно преобразовать помимо косинуса, внутри которого можно только дробь разбить на $n^2 - n + 1 - \dfrac{1}{n+1}$

Null
Да оно и понятно, но не зря же мне тут указания дают как что с пределом делать, что то значит в нем скрыто (:

[ИСН]

phys в сообщении #509335 писал(а):

но скорее всего он попросту не существует.

Конкретнее, пожалуйста, а то так-то можно многое сказать. Скорее всего завтра утром взойдёт солнце. Скорее всего в 2012 конец света. Скорее всего этот пример как-то решается, да.

[phys]

Ну, не в моих силах (а может и в моих?) доказать, что произведение двух ($(-1)^{n+1}$ и $\cos{\left(\dfrac{n^3}{n+1}\right)}$) несуществующих пределов есть несуществующий предел, если это вообще так.

[ИСН]

Вот последовательность: 0, 1, 0, 1... Что можно сказать про её предел?

[phys]

Не определен при $n \rightarrow \infty$