Насколько я помню нет ни одного поля, в котором поле комплексных чисел является подполем. Все дальнейшие расширения, вроде кватернионов уже не являются полями, там теряется к примеру коммутативность умножения.
Конечномерного расширения - да, не может быть (так как

алгебраически замкнуто). Но бесконечномерные расширения есть у любого поля, в том числе - у

.