Расширения поля вещественных чисел

[almost]

Меня это заинтересовало после ознакомления с нестандартным анализом. Можно ли расширять поле вещественных чисел до бесконечности или на определенном этапе расширение станет эквивалентно исходному полю ?

[ewert]

almost в сообщении #508875 писал(а):

Можно ли расширять поле вещественных чисел до бесконечности

До какой, собственно, бесконечности?... Их человечество много понавыдумывало.

almost в сообщении #508875 писал(а):

или на определенном этапе расширение станет эквивалентно исходному полю

Ну если уж начал расширяться -- сузиться уже никак не удастся. Разве что на диету сесть.

[Xaliuss]

Насколько я помню нет ни одного поля, в котором поле комплексных чисел является подполем. Все дальнейшие расширения, вроде кватернионов уже не являются полями, там теряется к примеру коммутативность умножения.

[alcoholist]

Xaliuss в сообщении #518665 писал(а):

Насколько я помню нет ни одного поля, в котором поле комплексных чисел является подполем

Конечно, есть) Например, поле рациональных фукций $\mathbb{C}(X)$, тут $X$ -- формальная переменная.

[migmit]

Xaliuss в сообщении #518665 писал(а):

Насколько я помню нет ни одного поля, в котором поле комплексных чисел является подполем. Все дальнейшие расширения, вроде кватернионов уже не являются полями, там теряется к примеру коммутативность умножения.

Конечномерного расширения - да, не может быть (так как $\mathbb{C}$ алгебраически замкнуто). Но бесконечномерные расширения есть у любого поля, в том числе - у $\mathbb{C}$.