2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Плотности числовых последовательностей (по Шнирельману)
Сообщение29.11.2006, 17:30 
Можно ли построить две последовательности $A$ и $B$ такие, что

$\begin{gathered}
  \rho \left( A \right) = 0, \hfill \\
  \rho \left( B \right) = 0, \hfill \\
  \rho \left( {A + A} \right) = 1, \hfill \\
  \rho \left( {A + B} \right) = 1, \hfill \\
  \rho \left( {B + B} \right) = 1. \hfill \\ 
\end{gathered} $

 
 
 
 Re: Плотности последовательностей
Сообщение29.11.2006, 20:07 
Аватара пользователя
AndAll писал(а):
...


А плотность у Вас как определяется?

 
 
 
 
Сообщение29.11.2006, 22:26 
Аватара пользователя
Думаю речь идет о плотности последовательности в ракурсе исследований Шнирельмана и последующих по гипотезе Гольдбаха.
Тогда такие последовательности невозможны, т.к. если плотность $A+A$ равна единице - мы описываем весь натуральный ряд. Поскольку плотность любой арифметической прогрессии, начиная с единицы положительна, то наша последовательность идет реже любой арифметической, т.е. в ней встречаются пробелы, большие любой наперед заданной константы. Однако уже для $B+B$, где $B$ - арифметическая прогрессия с разностью $3$ весь натуральный ряд описать невозможно.

 
 
 
 Re: Плотности последовательностей
Сообщение29.11.2006, 23:01 
Someone писал(а):
AndAll писал(а):
...


А плотность у Вас как определяется?


Именно по Шнирельману, как и предполагает Артамонов Ю.Н.

 
 
 
 
Сообщение29.11.2006, 23:05 
Аватара пользователя
Плотность можно опредеять по разному: как минимум и как предел (при n->oo) отношения количества элементов последовательности меньших n к n.
Если определять как предел, то плотность равная 1 не означает, что последовательность совпадает с натуральным рядом.

 
 
 
 
Сообщение29.11.2006, 23:06 
Аватара пользователя
У Шнирельмана определяется как минимум.

 
 
 
 Небольшое уточнение
Сообщение30.11.2006, 11:24 
Наверное, моя ошибка в том, что я не дал определение той сумме, которое имел в виду.

Пусть $\left( {A \oplus B} \right)$ представляет собой всевозможные суммы, составленные из элементов последовательностей $A$ и $B$. Тогда, $A + B = \left( {A \oplus B} \right) \cup A \cup B$.

Как известно, плотность суммы последовательностей не равна, а больше суммы плотностей исходных последовательностей.

 
 
 
 
Сообщение30.11.2006, 11:29 
Аватара пользователя
Если предполагать, что $A$ и $B$ содержат число 0, то $A\oplus B=A+B.$

 
 
 
 
Сообщение30.11.2006, 12:35 
maxal писал(а):
Если предполагать, что $A$ и $B$ содержат число 0, то $A\oplus B=A+B.$


Действительно так, но я этого не сказал и хорошо, что Вы сами это предположили.

Если, например, взять два отрезка прогрессий с разностями $2$ и $3$ от $1$ до $n$, то такая сумма даст $\sim n\left( {n + 5} \right)/6$ членов, что с ростом $n$ превышает $2n$ на величину, большую любой наперед заданной. Поэтому, из исходных прогрессий можно «повыдергивать» некоторое количество членов так, что плотность суммы останется равной единицы, а плотность исходных последовательностей устремиться к нулю.
Я имею в виду такую конструкцию.

 
 
 
 
Сообщение30.11.2006, 13:56 
Аватара пользователя
Посмотрите на такую конструкцию.

Разобъем множество натуральных чисел на два непересекающихся класса $\mathbb{A}$ и $\mathbb{B}$ так, чтобы в любой последовательности $\{1,2,\ldots,N\}$ было примерно поровну элементов из каждого класса (просто даже пусть $\mathbb{A}$ - четные числа, $\mathbb{B}$ - нечетные).

Будем представлять натуральные числа в двоичной записи, позиции нумеровать стандартным образом с конца.

Далее, в качестве последовательности $A$ возьмем такие числа, в двоичном представлении которых ненулевые разряды могут располагаться только на позициях с номерами из множества $\mathbb{A}$, а прочие всегда нули. Аналогичным образом, $B$ состоит из чисел, у которых ненулевые разряды могут быть только на позициях $\mathbb{B}$.

Ясно, что сумма таких последовательностей дает все натуральные числа. При этом плотности самих последовательностей $A$ и $B$ равны нулю.

 
 
 
 
Сообщение30.11.2006, 15:27 
PAV писал(а):
... Ясно, что сумма таких последовательностей дает все натуральные числа. При этом плотности самих последовательностей $A$ и $B$ равны нулю.


Пока сомневаюсь, что "плотности самих последовательностей $A$ и $B$ равны нулю". Впрочем, надо подумать. Спасибо.

 
 
 
 
Сообщение30.11.2006, 20:02 
Аватара пользователя
Похоже, что рассуждение PAV проходит, только вот не удовлетворяются условия задачи $\rho(A+A)=1$, $\rho(B+B)=1$, о которых я говорил.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group