Решить уравнение над областью целостности

[dianasi]

R-коммутативные, ассоциативное кольцо с единицей с делителями нуля. Решить уравнение Ах=В,
где А- не единица (не существует d с R: Ad=1 dA=1). Как решить это уравнение?

[Sonic86]

Посмотрите как набирать формулы: topic183.html
Так, я боюсь наврать, относитесь к тексту критично.

Вам надо выяснить в каких идеалах $I_A,I_B$ кольца $R$ лежат константы $A$ и $B$. Если $I_B \subseteq I_A$, то $A$ делит $B$ (и тогда решения есть, а иначе решений нет), значит $B=AC$ и тогда уравнение сводится к уравнению $x=C$ в факторкольце $R/I_A$. Ну собственно и все. Хотя нет - надо еще решение $x=C$ в $R/I_A$ переписать во множество решений в $R$.

Тренироваться можете в кольцах $\mathbb{Z}_n$, где $n$ составное, там все наиболее просто.

[Профессор Снэйп]

А по-моему, здесь как в линейной алгебре и в диффурах. Есть однородное уравнение $Ax = 0$, есть неоднородное $Ax = B$. Общее решение неоднородного уравнения представляется в виде суммы частного решения неоднородного и общего решения однородного.

Все решения однородного уравнения образуют идеал $J_A = \{ r \in R : Ar = 0 \}$. Можно ли в общем случае найти какой-то "базис" этого идеала, с ходу сказать затрудняюсь. Надо думать.

Что касается частного решения неоднородного... Ну, оно существует тогда и только тогда, когда идеал $I_A = \{ Ar : r \in R \}$ содержит $B$. Вряд ли для произвольного $R$ можно сказать что-то более определённое... Хотя может и можно, просто я не вижу.

-- Чт ноя 17, 2011 17:25:16 --

P. S. А почему тема так странно называется? Просят решить уравнение над областью целостности, а потом говорят, что уравнение надо решать в кольце с делителями нуля