2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение14.11.2011, 21:20 
$\\
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}( y_{1}'^{2}+ y_{3}'^{2}+2y_{1}y_{2}+2y_{2}y_{3})dx\\
y_{1}(0)=y_{2}(0)=y_{3}(0)=0, y_{1}(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2},y_{2}(\frac{\pi}{2})=0,y_{3}(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2}\\
\begin{cases}
2y_{2}-2y_{1}''=0\\
2y_{1}+2y_{3}=0\\
2y_{2}-2y_{3}''=0
\end {cases}
$
получаю
$\begin{cases}
y_{2}=y_{1}''\\
y_{1}=-y_{3}\\
y_{3}''=y_{2}
\end {cases}$
что и куда дальше подставлять?

 
 
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение14.11.2011, 22:24 
Пусть Вы решаете задачу на минимум этого функционала.
Положим на $(\varepsilon,\frac{\pi}{2}-\varepsilon)$
$y_2=-K sgn(y_1+y_3)$, где $K$~--- постоянная.

Доопределим как-нибудь непрерывно на оставшейся части отрезка. Понятно, что при выборе достаточно большого $K>0$ значение функционала будет отрицательным и большим по модулю.

 
 
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение15.11.2011, 00:11 
не совсем понятно

 
 
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение15.11.2011, 10:39 
Идея состоит в том, что при каких-нибудь допустимых (т.е. удовлетворяющих граничным условиям) $y_1$ и $y_3$ мы можем подобрать такую функцию $y_2$, что нижняя грань значения функционала будет равна $-\infty$.

 
 
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение15.11.2011, 10:49 
ну идея понятна, но что по шагам делать дальше, я так понимаю надо решить однородное уравнение, только как его составить?

 
 
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение15.11.2011, 11:35 
Аватара пользователя
Решать не надо, решение уже получено: минимума нет. Или, если угодно, минимум - минус бесконечность.

 
 
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение15.11.2011, 12:17 
Аватара пользователя
Это мне одному кажется, что из системы $\begin{cases} y_1''=y_2 \\ y_3''=y_2 \\ y_1=-y_3 \end{cases}$ следует тождественное равенство $y_2$ нулю?

А $y_1$ и $y_3$ тогда будут линейными функциями, которые из начальных условий находятся однозначно?

 
 
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение15.11.2011, 17:32 
INGELRII, в данной задаче не надо решать уравнения Эйлера.

Точно так же, как можно не искать, где равна нулю производная функции $y(x)=x^3-5x^2+9x-198$, чтобы понять, чему равна нижняя грань множества значений $f(x)$.

 
 
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение16.11.2011, 09:04 
вообще говоря, мне надо найти $y_{1},y_{2},y_{3}$

 
 
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение16.11.2011, 09:34 
Аватара пользователя
Уже нашли: $y_1,\,y_3$ - любые функции, а про $y_2$ см. в сообщении V.V. Понимаете ответ? Нравится? Нет? Почему?

-- Ср, 2011-11-16, 10:34 --

ну, это если условие написано полностью и верно.

 
 
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение16.11.2011, 09:58 
Предположу, что в задании нужно было не найти точку минимума (или доказать что минимум не достигается), а потренироваться составлять и решать уравнения Эйлера-Лагранжа. То есть в задании надо было найти экстремали, а не минимум.

vanja, я прав? Или всё-таки нужно было искать минимум?

 
 
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение16.11.2011, 11:19 
Цитата:
vanja, я прав? Или всё-таки нужно было искать минимум?

вы правы

 
 
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение16.11.2011, 12:11 
vanja
В вашем примере система уравнений Эйлера-Лагранжа имеет вид
$
\begin{cases}
y''_1 = y_2\\
y_1 = - y_3\\
y''_3 = y_2
\end{cases}
$
Продифференцируйте второе уравнение 2 раза, а затем посмотрите на 1-ое и 3-е уравнение, тогда поймёте как найти $y_2$. После этого $y_1$ и $y_3$ легко находятся.

 
 
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение16.11.2011, 20:55 
Цитата:
$
\begin{cases}
y''_1 = y_2\\
y''_1 = y''_3\\
y''_3 = y_2
\end{cases}
$

только я здесь не вижу как получить $y_2$

 
 
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение16.11.2011, 22:17 
Вы что-то потеряли при дифференцировании.

 
 
 [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group