Диофантово уравнение

[Keter]

Найти все решения в целых числах $3xy+13y+16x+61 = 0$

Значится так решал я:

$y(3x+13) = -61-16x; y = \frac{-16x-61}{3x+13}$

Предположим знаменатель в три раза меньше числителя, тогда имеем

$-16x-61 = 3(3x+13); -16x-61 = 9x+39; -25x = 100; x = -4; y = 3$

Но как доказать, что других решений нет я не знаю. А может они и есть?!

[SpBTimes]

А что бы не сделать по-простецки?
$x(3y + 16) + \frac{13}{3}(3y + 16) + 61 - \frac{16 \cdot 13}{3} = 0$
$3x(3y + 16) + 13(3y + 16) = 25$
$(3y + 16)(3x + 13) = 25$
Ну и рассмотрите пары (чему равны скобки) аля:
$\{1, 25\}; \{-1, 25\}; ...$

[Nikys]

Замечание верное, но по решению автора...Можно же столбиком поделить, да и в двучленах необязательно. Называется это проще: выделить целую часть. А-ля вынести в числителе за скобки $\frac {-16}{3} \cdot (3x+13)$, а потом рассмотреть целые варианты сокращений числа в числителе и выражения в знаменателе?
Хотя предложенное решение таки-да, красивее.

[Keter]

SpBTimes спасибо.