2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Итерационные методы решения СЛАУ
Сообщение10.11.2011, 16:39 
Необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений большого порядка. Понятно дело, что для точности необходимо использовать итерационные методы. И тут возникает вопрос - какой итерационный метод лучше всего подойдет для решения сильно разреженным матриц порядка 200 000?

 
 
 
 Re: Итерационные методы решения СЛАУ
Сообщение10.11.2011, 18:48 
Аватара пользователя
Темка была такая, не знаю, насколько полезна.

 
 
 
 Итерационные методы решения СЛАУ
Сообщение01.02.2012, 14:53 
Доброго времени суток, форумчане!
Передо мной стоит такая вот задача: решить систему линейных алгебраических уравнение итерационным способом (рабочий код которого нужно будет написать на С++).
Про систему можно сказать следующее - сильноразреженная. Порядок системы - 100 000. Ясное дело, матрица не вырожденная.
Метод Якоби и Зейделя не подойдут - нет диагонального доминирования... а складывать строки не хочется (уж слишком долгий этот процесс...)
Очень хочется увидеть описание какого-либо итерационного метода, максимально заточенного для работы с разреженными матрицами.

 i  Дублирование является нарушением правил форума, см. I.1.к. Две ветки по одной теме слиты.

 
 
 
 Re: Итерационные методы решения СЛАУ
Сообщение01.02.2012, 17:29 
Тут другое... система сильно разреженная...
а темку я ту уже проштудировал....

 
 
 
 Re: Итерационные методы решения СЛАУ
Сообщение01.02.2012, 19:03 
Аватара пользователя
А что известно про систему - симметричность, полож. определённость, оценки спектра, оценка числа обусловленности?

 
 
 
 Re: Итерационные методы решения СЛАУ
Сообщение02.02.2012, 11:56 
Про систему мало что известно - невырожденная матрица, сильноразреженная
Диагональный элемент не меньше суммы остальных элементов в строке (в любой)

 
 
 
 Re: Итерационные методы решения СЛАУ
Сообщение02.02.2012, 19:39 
Аватара пользователя
Если система не является симметричной положительно определённой, то можно воспользоваться следующими методами http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_minimal_residual_method, http://en.wikipedia.org/wiki/Biconjugate_gradient_method, http://en.wikipedia.org/wiki/Biconjugate_gradient_stabilized_method.

 
 
 
 Re: Итерационные методы решения СЛАУ
Сообщение03.08.2012, 11:45 
hello19 в сообщении #533749 писал(а):
Про систему можно сказать следующее - сильноразреженная. Порядок системы - 100 000. Ясное дело, матрица не вырожденная.

Вопрос: матрица точная или приближенная?
Если приближенная, то мы не всегда можем гарантировать невырожденность, даже если посчитали det(A).
цитата из Тыртышников Матричный анализ и линейная алгебра стр 281
Любая матрица с диагональным преобладанием, по строкам или по столбцам является обратимой.
Можно доказать, что если определитель матрицы отличен от нуля, то при всех достаточно малых изменениях (в математике часто говорят — возмущениях) элементов матрицы определитель не станет нулем.
Если каждый элемент матрицы-возмущения F порядка n по модулю меньше 1/n, то det(А+ F) <> 0.
Однако, по величине определителя трудно судить, насколько малы должны быть соответствующие возмущения.
Например, рассмотрим двухдиагональные матрицы порядка n (главн диаг 1, диаг над нлавной 2) с возмущением eps только одного элемента — в левом нижнем углу:
А(е) =
[1 2 ]
[ 1 2 ]
[ . . . ]
[ 1 2]
[e 1]
При e = 0 имеем det A(e) = 1.
В общем случае, применяя теорему Лапласа для разложения определителя по первому столбцу, находим det А(е) = 1 + e * (-1)^(n-1) * 2^(n-1).
При e = (—1)^n/2^(n-1) получаем det A(e) = 0.
Пусть, например, n = 100. Как видим, невырожденная матрица с определителем 1 превращается в вырожденную при весьма малом возмущении!

В Вашем случае n=10^5 нельзя гарантировать, что возмущение e=10^(-5) не сделает матрицу вырожденной.

hello19 в сообщении #534038 писал(а):
Диагональный элемент не меньше суммы остальных элементов в строке (в любой)

диагональное преобладание дает невырожденность

 
 
 
 Re: Итерационные методы решения СЛАУ
Сообщение04.08.2012, 12:42 
Матрица точная

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group