Найти условный экстремум

[vanja]

$f=e^{xy}$
$x+y=a$
Составим функцию Лагранжа
$\Phi(x,y)=e^{xy}+\lambda(x+y-a)$
и выпишем систему для определения $\lambda$ и координат возможных точек экстремума
$\begin{cases} \frac{d \Phi}{dx}=ye^{xy}+\lambda=0,\\ \frac{d \Phi}{dy}=xe^{xy}+\lambda=0,\\ x+y-a=0 \end{cases}$
как отсюда найти $\lambda$?

[MaximVD]

Использовать в данном случае правило множителей Лагранжа - это стрелять из пушки по воробьям. Выразите, например, $y$ из ограничений и подставьте в целевую функцию $f$. Получите задачу без ограничений, к тому же одномерную.

[vanja]

просто мне надо именно использовать метод множителей

[MaximVD]

Тогда можно выразить $\lambda$ из первого уравнения и подставить во второе. Оттуда можно найти соотношение на $x$ и $y$ и затем воспользоваться третьим уравнением, чтобы найти нужные значения $x$ и $y$.

[vanja]

это как понять?

Цитата:

найти соотношение на $x$ и $y$

$\\ \lambda=-ye^{xy}\\ xe^{xy}-ye^{xy}=0\\ e^{xy}(x-y)=0$

[MaximVD]

vanja
Вы получили уравнение $e^{xy}(x-y) = 0$. Что вы можете сказать про него? То есть какого его решение?

[vanja]

$x=y$
$e^{xy}=0$

[MaximVD]

vanja
При каких $x$ и $y$ будет $e^{xy}=0$?

[vanja]

и тупик) признаться, не знаю

[MaximVD]

Хорошо, давайте решим более простой вопрос. Пусть $a$ - вещественное число, какие значения может принимать $e^a$ в зависимости от $a$. Или ещё проще, как выглядит график функции $y = e^x$.

[vanja]

график

[coll3ctor]

MaximVD в сообщении #499669 писал(а):

vanja
При каких $x$ и $y$ будет $e^{xy}=0$?

при таких, что $x\cdot y=-\infty$

[vanja]

что-то это наверное не есть хорошо)

[ewert]

vanja в сообщении #499726 писал(а):

что-то это наверное не есть хорошо)

Это уже радует. Ну, ещё маленькое усилие: так чему же эквивалентно уравнение $(x-y)e^{xy}=0$?...

[vanja]

оно вообще имеет решение?
если брать что $xy=-\infty$, а $x=y$