Подозреваю, что формула Маклорена не годится...(ибо ее использование подразумевает существование производной)
Именно так.
Из определения производной и свойств показательной функции мгновенно следует, что
![$(a^x)'=C_a\cdot a^x$ $(a^x)'=C_a\cdot a^x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/1/4f1e26fcec651e45448563345e1f5cee82.png)
, где
![$C_a\equiv\lim\limits_{x\to0}\dfrac{a^x-1}{x}$ $C_a\equiv\lim\limits_{x\to0}\dfrac{a^x-1}{x}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/6/5c6ac5371c048f587d9246a95d4f2d7182.png)
. Далее, после соотв. линейной замены переменной в этом пределе
![$(a^x)'=C_2\cdot a^x\cdot\log_2a$ $(a^x)'=C_2\cdot a^x\cdot\log_2a$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/6/676ee0b9251ec2a8ba5c553ec2c549c882.png)
. А поскольку логарифм непрерывно и монотонно меняется от плюс до минус бесконечности, существует значение
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
(притом ровно одно), при котором
![$(a^x)'=a^x$ $(a^x)'=a^x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/d/acd31f09d39fb7582eecdfbc72a6b83a82.png)
. Вот это-то значение и называется числом
![$e$ $e$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cd34385ed61aca950a6b06d09fb50ac82.png)
.
Для того, чтобы сделать все эти элементарные выкладки корректными, нужно лишь одно -- убедиться в том, что предел
![$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{2^x-1}{x}$ $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{2^x-1}{x}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/9/1f9a3ea1e4447f7434c024a334305f6c82.png)
существует и конечен. Это следует из монотонности, и не так уж сложно, но и не сразу; повозиться придётся.
-- Сб ноя 05, 2011 14:28:38 --Есть способ в духе "сбиваем лазером сосули": показательная функция как монотонная дифференцируема почти всюду. Ну а нам достаточно в одной точке, на самом деле. Чуть-чуть подумав, берем вместо лазера рогатку -- выпуклая функция дифференцируема всюду, кроме максимум счетного числа точек.
Ну это действительно сосули лазером, притом на верёвочке. Я всё-таки имел в виду совсем элементарное доказательство, средствами исключительно первого семестра.
-- Сб ноя 05, 2011 14:33:53 --выпуклая функция дифференцируема всюду, кроме максимум счетного числа точек
Это некоторый перебор: из выпуклости показательной функции уже следует существование правостороннего предела, а его совпадение с левосторонним получается просто заменой
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
на
![$(-x)$ $(-x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/9/4d9e145b4399b77ceed0e2bdde79fec582.png)
.