Несколько теор. вопросов про отображения, послед и пределы

[Someone]

samuil в сообщении #499892 писал(а):

Насколько я понял -- мой вопрос был неуместен и некорректен? Но все же -- ответ на вопрос не очевиден(

Что Вы пустяками мучаетесь. Просто разные авторы по-разному употребляют термины "отображение" и "функция". Примите это к сведению и успокойтесь.

[samuil]

Someone в сообщении #499921 писал(а):

samuil в сообщении #499892 писал(а):

Насколько я понял -- мой вопрос был неуместен и некорректен? Но все же -- ответ на вопрос не очевиден(

Что Вы пустяками мучаетесь. Просто разные авторы по-разному употребляют термины "отображение" и "функция". Примите это к сведению и успокойтесь.

Ок, спасибо! Рад такому ответу

[JMH]

BVR в сообщении #499647 писал(а):

Если область определения функции, действующей из множества $X$ в множество $Y$, совпадает с множеством $X$, то эта функция называется отображением множества $X$ в множество $Y$.

-- Сб ноя 05, 2011 13:39:27 --

То есть, отображение - частный случай функции.

А вот это действительно забавно BVR, это было определение понятия "в", а не понятия "отображение".

[ewert]

samuil в сообщении #499892 писал(а):

А чем пользоваться можно, чтобы убедиться (догадываюсь, что использовать производную для выяснения монотонности -- тут не уместно использовать производную)

Показательная функция выпукла вниз: $f(\theta x+(1-\theta)y)<\theta\,f(x)+(1-\theta)f(y)\ \ (\forall\theta\in(0;1))$, т.е. любая хорда лежит выше соответствующего участка графика. Отсюда сразу следует, что $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}$ монотонна, причём в нужную сторону, т.е. убывает при приближении к нулю справа. Это очевидно геометрически, но легко (раз уж очевидно) обосновывается и формально: если $0<x_1<x_2$, то

$\dfrac{f(x_1)-f(0)}{x_1}<\dfrac{f(x_2)-f(0)}{x_2}\ \ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\ \ f(x_1)\equiv f((1-\frac{x_1}{x_2})\cdot0+\frac{x_1}{x_2}\cdot x_2)<(1-\frac{x_1}{x_2})f(0)+\frac{x_1}{x_2}\,f(x_2).$

Другое дело, что сама по себе выпуклость показательной функции нетривиальна и её доказательство -- это некоторая морока. Тем не менее: факт выпуклости хорошо известен ещё со школы и никаких производных не требует.

[BVR]

JMH

Не нравится "в", замените на "на". Функция и отображение всегда действуют либо в либо на
Вообще-то это стандартное определение из учебника.

-- Вс ноя 06, 2011 18:54:15 --

Куликов "АТЧ", а не нравится, так см. Ван дер Вардена, там, кажется, тоже также

[ewert]

(Оффтоп)

BVR в сообщении #500091 писал(а):

Функция и отображение всегда действуют либо в либо на

Дело не в предлогах, а в том, что Вы только что сказали, что "функция" и "отображение" -- по существу суть синонимы. Что верно, конечно. Но зачем же раньше-то было их разводить?...

[BVR]

Почему нет? Отображение - частный случай функции.

[ewert]

BVR в сообщении #500644 писал(а):

Отображение - частный случай функции.

http://dxdy.ru/post499834.html#p499834

[BVR]

Ну пусть собака из хвоста растёт. А то понапишут всякую ерунду в книжках