Диофантово уравнение

[Keter]

Решите уравнение в целых числах

$\sqrt{9x^2+160x-800} = 3x-y$.

Ответ: $(369; -26), (86; -24), (9; -10), (30; -20), (6; -4), (5;0), (-198; -1060), (-85; -480), (-57; -310),$
$ (-33; -160), (-30; -140), (-22; -72)$.

Для начала нашел ОДЗ:

$9x^2+160x-800 \geqslant 0$

$D = 80^2+7200 = 13600$

$x_1 = \frac {-80+20 \sqrt{34}} {9}$

$x_2 = \frac {-80-20 \sqrt{34}} {9}$

$x \in \big( - \infty; \frac {-80-20 \sqrt{34}} {9} \big] \cup \big[ \frac {-80+20 \sqrt{34}} {9}; + \infty \big)$

Учитывая то, что $x \in \mathbb{Z}$ имеем: $x \in \big( - \infty; -22 \big] \cup \big[ 5; + \infty \big)$

Пробовал возводить обе части в квадрат и решать относительно $y$ и получал $y=3x$.

$9x^2+160x-800 = 9x^2-6xy+y^2$

$y^2-6xy-160x+800=0$

$D = (-3x)^2-(-160+800) = 9x^2+160-800 = (3x-y)^2$

$y_1 = 3x+3x-y_1; y_1 = 3x$

$y_2 = 3x-3x+y_2; y_2=y_2$

При подставлении в уравнение $y=3x$ решаем $9x^2+160x-800 = 0$ и получаем два рациональных корня $x_1$ и $x_2$. Пробовал заменой - бред получается. Получил только одну пару $(5; 0)$, ну естественно приравняв $y$ к нулю.

Вообще мы получаем целые решения, когда выражение под корнем - квадрат целого числа. Иначе говоря, $9x^2+160x-800 = t^2$, но тогда $3x-y = t$

Вообще не понимаю, что не правильно делаю, с математической точки зрения всё правильно - возвёл в квадрат, но я получил 2 рациональных корня, почему потерял еще 12 целых пар решений?! Из-за того, что подставил $y=3x$?!

Может выразить $x = \frac {y+t} {3}$. И что? Получим:

$y^2-6(\frac {y+t} {3})y-160(\frac {y+t} {3})+800 = 0$

$y^2-2y(y+t)+800 = \frac {160y+160t} {3}$

$(y^2-2y^2-2yt+800)3 = 160y+160t$

$-3y^2-6yt+2400-160y-160t = 0$

$3y^2+2y(3t+80)+160t-2400 = 0$

$D = (3t+80)^2-3(160t-2400) = 9t^2+6400-48t+7200 = 9t^2-48t+13600 \neq 0$

Даже не знаю, что дальше делать((

[spaits]

Ну да, там ошибка: $D=9x^2+160x-800$. Разве это квадрат рационального выражения?

[Keter]

spaits в сообщении #497216 писал(а):

Ну да, там ошибка: $D=9x^2+160x-800$. Разве это квадрат рационального выражения?

Хотите сказать, что в условии ошибка? Нет, такого не может быть. Ведь это очный тур олимпиады "Покори Воробьёвы горы". И эти задания были выложены на официальном сайте.

[spaits]

Ошика у Вас при вычислении дискриминанта (решая уравнение относительно $y$).
Посмотрите внимательнее.

[Keter]

http://www.mk.ru/upload/msu/2010/matemat2010Omsk.pdf

там пятое задание

-- 29.10.2011, 22:35 --

Вы имеете в виду наверное мою замену. Но ведь по условию написано что: То, что $9x^2+160x-800=(3x-y)^2$

[VAL]

Подкоренное выражение должно быть квадратом целого числа.
Выделите из него полный квадрат и приравняйте какому-нибудь $k^2$.
А дальше воспользуйтесь формулой разности квадратов и получите несколько систем линейных уравнений относительно $x$ и $k$.

[spaits]

Keter в сообщении #497220 писал(а):

Вы имеете в виду наверное мою замену.

Нет, ошибка в Ваших дальнейших преобразованиях.

[Shadow]

Цитата:

Иначе говоря, $9x^2+160x-800 = t^2$

Вот етого и достаточно для задачи. Там $y$ свободен как птица. Достаточно, чтобы выражение под радикала бы квадрат целого.
$\displaystyle \\9x^2+160x-800-t^2 =0\\ x_{1,2}=\frac{-80\pm \sqrt{13600+t^2}}{9}\\ 13600+t^2=c^2\\ (c-t)(c+t)=13600 $
И перебор.

Что написал VAL. Простите, не увидел

[Klad33]

Не знаю, можно ли так: Решая относительно x легко нашел:

$x=\frac{800+y^2}{160+6y}$

Тут всего-то достаточно, чтобы дробь оказалась целым числом.
Перебором получил всего 24 варианта (y изменял от $ -2\cdot 10^6$ до $ +2\cdot 10^6$):



Вот можно ли такое выявить без перебора y (например, с применением сравнения по модулю) ?

[VAL]

Klad33 в сообщении #497277 писал(а):

Не знаю, можно ли так: Решая относительно x легко нашел:

$x=\frac{800+y^2}{160+6y}$

Тут всего-то достаточно, чтобы дробь оказалась целым числом.
Перебором получил всего 24 варианта (y изменял от $ -2\cdot 10^6$ до $ +2\cdot 10^6$):

А почему именно этот диапазон?

Цитата:

Вот можно ли такое выявить без перебора y (например, с применением сравнения по модулю) ?

Традиционное продолжение Вашего способа такое:

$$x=\frac{800+y^2}{160+6y}=\frac1{18}\left(3y-80+\frac{31600}{3y+80}\right)$$

Теперь перебираем игреки, при которых знаменатель делит 13600. Нам подходят те, при которых выражение в скобках кратно 18.

Кстати, предложенный мной (и не только) способ приводит ровно к тому же: перебору делителей 13600.

[nnosipov]

Klad33 в сообщении #497277 писал(а):

Вот можно ли такое выявить без перебора y (например, с применением сравнения по модулю) ?

Можно существенно сократить перебор. Для этого сначала заметим, что $y$ должно быть чётным, $y=2y_1$. Тогда $x=\frac{200+y_1^2}{40+3y_1}$. Далее следует поделить с остатком числитель на знаменатель и т.д. --- стандартный способ решения подобных задач. В результате нужно будет рассмотреть всего 24 варианта (ровно столько делителей у числа 3400).

[Shadow]

Все таки думаю, что рассматривать правую часть уравнения принципиально неправильно. Ведь там могло быть что угодно, напр. $19x^8-23x^7+...+y$. Важна только левая часть.

(Оффтоп)

Кстати, была тут недавно интересная задача из друх этапов:
1. Сформулировать толковое условие.
2. Решить
Были предложения: при каких целых $a,b,c$ найдется целое $x$. Вот тут - конечное число - 12 решений

[Klad33]

nnosipov в сообщении #497292 писал(а):

В результате нужно будет рассмотреть всего 24 варианта (ровно столько делителей у числа 3400).

Класс! Теперь стало все понятно.

[Klad33]

Насчет большого диапазона чисел очень банально. Сначала принял диапазон от -10 до +10. Получил три решения. Расширил до (-20..+20), - тоже посыпались варианты. Стал добавлять нули, - решения не угасали. Наконец, после 20 тыс. стабилизировалось. Но для успокоения довел до миллионов. Благо, мой комп такое чешет за доли секунды.

[Keter]

То есть уравнение решается грубо говоря методом подбора????!!!! Это задание очного тура олимпиады ПВГ! Какой подбор??? Какой компьютер?!