Ряд Фурье и преобразование Фурье

[dxdz]

Салют!
У меня, возможно, немного глупый, но вопрос:
В чем отличия между разложением в ряд Фурье и преобразованием Фурье?

И если я, например, хочу найти первые n коэффициентов ряда Фурье для функции, заданной дискретно на некотором промежутке, то мне нужно применить численное интегрирование для нахождения коэффициентов ряда Фурье, или же воспользоваться дискретным преобразованием Фурье?

Спасибо!

[ИСН]

Вы дискретный человек? Тогда обычного преобразования Фурье вообще не бывает, а ряд бывает - вот и отличие; на второй же Ваш вопрос будет ответ "это одно и то же".

-- Сб, 2011-10-29, 17:46 --

Ну, почти что.

[synphara]

dxdz писал(а):

В чем отличия между разложением в ряд Фурье и преобразованием Фурье?

Преобразований Фурье несколько. Результатом одного из них, называемымы разложением в ряд Фурье, будет ряд Фурье .

-- 29.10.2011, 17:13 --

dxdz писал(а):

И если я, например, хочу найти первые n коэффициентов ряда Фурье для функции, заданной дискретно на некотором промежутке, то мне нужно применить численное интегрирование для нахождения коэффициентов ряда Фурье, или же воспользоваться дискретным преобразованием Фурье?

Вам общее представление нужно, или "просто посчитать"?

[profrotter]

dxdz в сообщении #497079 писал(а):

В чем отличия между разложением в ряд Фурье и преобразованием Фурье?

Об этом как раз недавно был разговор:
сообщение #496438
сообщение #496712

dxdz в сообщении #497079 писал(а):

И если я, например, хочу найти первые n коэффициентов ряда Фурье для функции, заданной дискретно на некотором промежутке, то мне нужно применить численное интегрирование для нахождения коэффициентов ряда Фурье, или же воспользоваться дискретным преобразованием Фурье?

Про ДПФ много сказано в теме 43711. Но у меня к вам тут встречный вопрос: Если функция задана дискретно, то, позвольте, что же вы собираетесь интегрировать и тем более интегрировать численно?
Предполагаю, что вы хотите построить интерполирующую функцию и затем, дискретизировать её спектральную плотность. В построении интерполирующей функции и последующем её интегрировании как раз суть большинства методов численного интегрирования: функция, подлежащая интегрированию заменяется интерполирующей, например ступенчатой - это метод прямоугольников или кусочно-линейной - метод трапеций. Давайте посмотрим что из этого получается. Для простоты будем рассматривать случай, когда интерполирующая функция построена на равномерной сетке и правило построения интерполирующего фрагмента на каждом интервале дискретизации одно и то же. Это так называемая регулярная интерполяция. Интерполирующая функция в таком случае описывается выражением:

$$\psi(t)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}f(nT)\varphi_0(t-nT),$$

где $N$ - количество отсчётов, $\{f(nT)\}_{n=0}^{N-1}$ - дискретные значения,$T$ - шаг дискретизации, $\{\varphi_0(t-nT)\}_{n=0}^{N-1}$ - система базисных функций. В методе прямоугольников $\varphi_0(t)$ прямоугольная, в методе трапеций - треугольная. Спектральную плотность интерполирующей функции получим с учётом свойств линейности и временного запаздывания преобразования Фурье:

$$\Psi(\omega)=\Phi_0(\omega)\sum\limits_{n=0}^{N-1}f(nT)e^{-j\omega nT},$$

где $\Phi_0(\omega)$ - спектральная плотность базисной функции $\varphi_0(t)$.
Аналогично тому, как это сделано в сообщении #428229 переходим к дискретному спектру с шагом $\Omega T=\frac {2\pi}{N}$:

$$S(k\Omega)\rvert_{-\frac N 2\leq k \leq \frac N 2} \approx \frac 1 T\Psi(k\Omega)=\frac 1 T\Phi_0(\frac {2\pi k}{NT})\sum\limits_{n=0}^{N-1}f(nT)e^{-j\frac {2\pi}{N} n k}.$$

Сравните с ДПФ:

$$S(k\Omega) =\sum\limits_{n=0}^{N-1}f(nT)e^{-j\frac {2\pi}{N} n k}.$$

Я не подробно набросал, потому что не уверен, что вы спрашиваете именно об этом.