Выражение нельзя определять, тем более, через само это выражение. Смысл выражения определяется его синтаксической структурой.
О обозначениях не имеет смысла спорить. Это вопрос договорённостей. Понимайте левую часть записи символически - как обозначение. Выражения находятся в правой части.
Я теперь пытаюсь вернуться к
сообщению #495600 и понять почему "результат получается ,разумеется, верный". Рассматриваю периодический
![$s_p(t)$ $s_p(t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/6/b96273c8555a7bdf9ac95ab4fe14497a82.png)
и соответствующий непериодический
![$s(t)$ $s(t)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/b/eabcd399d5d76526462b8174407f8b3a82.png)
сигналы:
Ряд Фурье в комплексной форме
![$s_p(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{j\omega_n t}$ $s_p(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{j\omega_n t}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/6/1e69d84b3be25b8a363225d2be508c8f82.png)
, где
![$\omega_n=n\Delta\omega$ $\omega_n=n\Delta\omega$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/2/8e2d1e0015e1a9ef856f8aaef16a06e082.png)
,
![$\Delta\omega=\frac {2\pi}{T}$ $\Delta\omega=\frac {2\pi}{T}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/a/15a4556199ad84e9c3ccc28c4a9791f782.png)
,
![$T$ $T$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/1/2f118ee06d05f3c2d98361d9c30e38ce82.png)
- период. С учётом того, что на интервале
![$s_p(t)=s(t)$ $s_p(t)=s(t)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95d3584af9ea47fdf7e1ac82abf0fdbc82.png)
можем записать
![$$C_n=\frac 1 T \int\limits_{-\frac T 2}^{\frac T 2}s_p(t)e^{-j\omega_n t}dt=\frac 1 T \int\limits_{-\frac T 2}^{\frac T 2}s(t)e^{-j\omega_n t}dt.$$ $$C_n=\frac 1 T \int\limits_{-\frac T 2}^{\frac T 2}s_p(t)e^{-j\omega_n t}dt=\frac 1 T \int\limits_{-\frac T 2}^{\frac T 2}s(t)e^{-j\omega_n t}dt.$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/7/b773d98aa06a179f6ce095c0a5d9b2b982.png)
Далее, так как вне интервала интегрирования подынтегральное выражение равно нулю (поскольку равен нулю
![$s(t)$ $s(t)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/b/eabcd399d5d76526462b8174407f8b3a82.png)
), пределы интегрирования формально можно записать бесконечными:
![$$C_n=\frac 1 T \int\limits_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-j\omega_n t}dt.$$ $$C_n=\frac 1 T \int\limits_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-j\omega_n t}dt.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/f/64f02caa3aea980cc829eaa6fb3920ff82.png)
Коэффициенты ряда Фруье можно рассматривать как дискретные значения функции (спектральной плотности)
![$$S(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-j \omega t}dt,$$ $$S(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-j \omega t}dt,$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/e/08edc1ca18a1226e5012a83aa8a9ab0482.png)
то есть
Рассматривая непериодический сигнал, как предельный случай периодического, когда
![$T\to\infty$ $T\to\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/f/b0fff0f9637011c9606fad6f88fe05fd82.png)
или
![$\Delta\omega\to 0$ $\Delta\omega\to 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/f/86fb4a33eff73b7a46bd230d68435a9782.png)
, выполним предельный переход, представляя периодический сигнал рядом Фурье в комплексной форме:
![$$s(t)=\lim\limits_{\Delta\omega\to0}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\frac {\Delta\omega}{2\pi}S(\omega_n)e^{j\omega_n t}=\frac 1 {2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)e^{j\omega t}d\omega.$$ $$s(t)=\lim\limits_{\Delta\omega\to0}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\frac {\Delta\omega}{2\pi}S(\omega_n)e^{j\omega_n t}=\frac 1 {2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)e^{j\omega t}d\omega.$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/6/12692d1dc66b5c729d80924ad0ef3cb282.png)
Получили обратное преобразование Фурье, а функция
![$S(\omega)$ $S(\omega)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/d/38d0ce4beb695067374c2c17485fc6f782.png)
является спектральной плотностью сигнала и определяется прямым преобразованием Фурье. Вот здесь в этом предельном переходе, каким бы "сгущением" это не называлось, фактически происходит "выход" с сетки ни непрерывную ось. Это даже видно по аналогии между выражениями для коэффициентов ряда и спектральной плотности. Я для себя тут понимаю так: мы фактически зафиксировали некоторое определённое выражение и договорились всегда от последовательности коэффициентов переходить к спектральной плотности только одним и тем же способом. То есть процедура продолжения строго фиксирована и неоднозначность исключена. Ну, например, в моём контрпримере такое фиксирование означало бы, скажем, договор всегда представлять поcледовательности вида ...1,-1,1,-1,1,-1... всегда только через
![$\cos(\pi n)$ $\cos(\pi n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/d/a5da2e1bfe8930d21be5155774ea8cae82.png)
. Это означает, что пока коэффициенты ряда не вычислены для их вычисления можно перейти к преобразованию Фурье, а полученный результат дискретизировать. Если же последовательность коэффициентов была вычислена и интеграла уже нет, то это означает, что могли иметь место некоторые преобразования полученного выражения и если в нём выполнить переход на непрерывную ось, то не факт, что мы получим выражение для спектральной плотности ввиду неоднозначности продолжения.
![:arrow: :arrow:](./images/smilies/icon_arrow.gif)
Вот тут критикуем, указываем на ошибки в рассуждениях, предлагаем другое объяснение и тп.
Теперь что я делал в
сообщении #495600. Я учёл, что коэффициенты ряда Фурье в тригонометрической форме связаны с коэффициентами ряда Фурье в комплексной форме:
![$$b_n=-2\operatorname{Im}C_n=-\frac 2 T \operatorname{Im}S(\omega_n),$$ $$b_n=-2\operatorname{Im}C_n=-\frac 2 T \operatorname{Im}S(\omega_n),$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/7/e47d48eb7b12900d613d431f85771c8a82.png)
а
![$\operatorname{Re}S(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}s(t)\cos(\omega t)dt$ $\operatorname{Re}S(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}s(t)\cos(\omega t)dt$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/8/378dbc1f7120cfde32d015c92b8248c482.png)
- косинус преобразование Фурье,
![$\operatorname{Im}S(\omega)=-\int\limits_{-\infty}^{\infty}s(t)\sin(\omega t)dt$ $\operatorname{Im}S(\omega)=-\int\limits_{-\infty}^{\infty}s(t)\sin(\omega t)dt$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/6/3f66d0a41f1736f86d797c8a5157b34e82.png)
- синус преобразование Фурье непериодического сигнала
![$s(t)$ $s(t)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/b/eabcd399d5d76526462b8174407f8b3a82.png)
, соотвестветствующего периодическому сигналу
![$s_p(t)$ $s_p(t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/6/b96273c8555a7bdf9ac95ab4fe14497a82.png)
.
(ewert)
ewert, во всём есть свои достоинства и недостатки: к сожалению учебники математики учат лишь как можно делать и формируют такое мышление, которое не позволяет себе даже попробывать сделать то, что нельзя и посмотреть что же тогда получится.
![:mrgreen: :mrgreen:](./images/smilies/icon_mrgreen.gif)