2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Теория вероятностей в покере (комбинаторика)
Сообщение23.11.2006, 00:43 


23/11/06
10
Здравствуйте. У меня вопрос из области теории вероятностей, правила покера здесь знать в принципе не обязятельно. Вопрос в следующем: если вероятность того, что у одного игрока сразу будет пара тузов (то есть с раздачи), равна 4/52*3/51=0.45% (вначале в колоде из 52 карт было четыре туза, затем осталось три туза и 51 карта соответственно), то какова вероятность сдачи пары тузов для двух и более игроков? Ну и похожий вопрос: какова вероятность того, что у двух и более игроков с раздачи будет хотя бы одна пара? Для некоторых вопрос может показаться ламерским, но просто математика не совсем моя специализация, а ответ нужно получить обязательно. Здесь выжны не только сами цифры, а алгоритм/ формула расчёта. Буду вам премного благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей в покере
Сообщение23.11.2006, 01:10 


12/02/06
109
Russia
Прежде всего
akaWild писал(а):
Еесли вероятность того, что у одного игрока сразу будет пара тузов (то есть с раздачи), равна 4/52*3/51=0.45% (вначале в колоде из 52 карт было четыре туза, затем осталось три туза и 51 карта соответственно).
Насколько я помню, в покере идет раздача по одной карте.
Если в игре участвуют двое, то вероятность туза (1) у 1-го игрока будет равна 4/52.
Далее, вероятность туза (2) у 2-го игрока будет равна 3/51.
Вероятность туза (3) у 1-го игрока будет равна: 2/50, если у 2-го выпал туз, и 3/50, если у 2-го не было туза.
То есть $p=\frac {4} {52} \cpoint \frac {2} {50}=\frac {8} {2600},$ если известно, что у второго туз, $p=\frac {4} {52} \cpoint \frac {3} {50}=\frac {12} {2600},$ если известно, что у второго не туз.
Если же не известно, что за карта попала второму игроку, то тогда вроде бы так: $p=\frac {4} {52} \cpoint \left ( \frac {3} {51} \cpoint \frac {2} {50} + \frac {48} {51} \cpoint \frac {3} {50}\right ) = \frac {600/51}{2600} = \frac {11.76...}{2600}.$
Для второго игрока вероятность получить 2 туза будет меньше.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.11.2006, 01:32 


20/10/06
81
Я несколько подзабыл теорию вероятностей, но могу сказать, что повидимому вы сообщили недостаточно "входных данных" чтобы считать вероятности.

Например для однозначного ответа на ваш вопрос о вероятностях нужно знать (часть вы указали):

  • число карт в колоде и сколько среди них тузов
  • число игроков
  • сколько раздается карт
  • если знать детали "процесса раздачи карт" то и их можно использовать для подсчета вероятности (отложили одному сколько надо карт, потом другому или же по одной карте выдается каждому игроку)


Если все это описать, то у вас практически обычная задача с урнами (из урны вынимают шары и куда то перекладывают).

Это так называемое "классическое вероятностное пространство", вероятности считаются по формуле <число благоприятных исходов>/<полное число исходов>.

Для посчета числа исходов применяют формулы из комбинаторики про разнообразные выборки (с возвращением и без, упорядоченные и неупорядоченные- всего 4 возможных вида выборок).
Так же используется "теорема умножения" в комбинаторике- если есть два множества из m и n элементов, то упорядоченных пар mn. Это может пригождатся для подсчета числа исходов.


Знание деталей процесса раздачи карт позволит применять разнообразные формулы условной вероятности- возможность отвечать на вопросы вроде "какова вероятность что у второго игрока то то и то то, если у первого имеется то то и это".

Добавлено спустя 12 минут 39 секунд:

Цитата:
У меня вопрос из области теории вероятностей, правила покера здесь знать в принципе не обязятельно. Вопрос в следующем: если вероятность того, что у одного игрока сразу будет пара тузов (то есть с раздачи), равна 4/52*3/51=0.45% (вначале в колоде из 52 карт было четыре туза, затем осталось три туза и 51 карта соответственно)


Я сомневаюсь, что вероятности вы определили верно. Важно описать, как именно раздаются карты, на сколько игроков, по сколько карт, сколько всего карт и тузов.

Добавлено спустя 2 минуты 27 секунд:

Правила игры в покер знать действительно необязательно, ваша не об игре, а о процессе раздачи карт, но вот без знания деталей процесса раздачи карт ответы давать затруднительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей в покере
Сообщение23.11.2006, 01:47 


23/11/06
10
vbn писал(а):
Насколько я помню, в покере идет раздача по одной карте.

Нет, в данном случае каждому игроку расдаётся сразу по две карты (хотя, если говорить строго, каждому игроку раздаётся по одной карте, раздача происходит по часовой стрелке, но при этом между раздачами этих двух карт
никаких пауз либо торгов не происходит)

$ писал(а):
Я несколько подзабыл теорию вероятностей, но могу сказать, что повидимому вы сообщили недостаточно "входных данных" чтобы считать вероятности.

Например для однозначного ответа на ваш вопрос о вероятностях нужно знать (часть вы указали):

  • число карт в колоде и сколько среди них тузов
  • число игроков
  • сколько раздается карт
  • если знать детали "процесса раздачи карт" то и их можно использовать для подсчета вероятности (отложили одному сколько надо карт, потом другому или же по одной карте выдается каждому игроку)



Информация следующая:
- В колоде 52 карты;
-Тузов - 4.
- Игроков - от 1 до 10. Себя не считаю - поэтому от 1 до 9 соперников, так более правильно. При этом меня интересует ситуация, когда количесвто соперников от 2 до 9.
- Остальное, вроде сказал.

Мне кажется (думается), что ответ не такой сложный, просто я математикой серьёзно не занимался со школы (у меня высшее экономическое образование, математика была далеко не самой изучаемой дисциплиной в универе), а теорию вероятностей и комбинаторику - так
не помню, вообще изучали или нет.

Цитата:

Я сомневаюсь, что вероятности вы определили верно. Важно описать, как именно раздаются карты, на сколько игроков, по сколько карт, сколько всего карт и тузов.

Определил вероятности я в данном случае правильно, цифра 0.45% указана во многих учебниках по покеру (её разновидности - Техасскому Холдему). То есть сначала вероятность того, что первая карта будет тузом = 4/52, а что и вторая тоже туз - 3/51. Ну а затем эти вероятности перемножаются.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.11.2006, 02:31 


20/10/06
81
Цитата:
Определил вероятности я в данном случае правильно, цифра 0.45% указана во многих учебниках по покеру (её разновидности - Техасскому Холдему). То есть сначала вероятность того, что первая карта будет тузом = 4/52, а что и вторая тоже туз - 3/51. Ну а затем эти вероятности перемножаются.

Этот ответ верный, только в случае, если процесс раздачи карт начинается так:

этому игроку выдают две карты, а потом делают все остальное и не важно что.

Но вот вы описали, что процесс раздачи идет так:
Цитата:
хотя, если говорить строго, каждому игроку раздаётся по одной карте, раздача происходит по часовой стрелке,

А это изменит вероятности. О чем я и веду речь. Ведь после выдачи первой карты в этом случае придется изменить ход рассуждений чтобы определить вероятность, что вторая карта так же окажется тузом.





Цитата:
Мне кажется (думается), что ответ не такой сложный,

Я просто постарался дать обзор, как решать все задачи подобного рода- это класс задач про урны с выборками шаров. Постарался описать, куда смотреть в справочниках, чтобы самому разобратся в вопросе.


Потом есть еще такая вешь- куда вы хотите применять ответ. Математики могут придратся к любой "некорректности" (с их точки зрения), но для тех, кто применяет ответ это может быть несущественной мелочью, которой просто пренебрегают и не обращают внимания. А я вам указал именно на тот факт, что для "математически безукоризненного" ответа не хватает деталей. А реальные игроки в плокер этими деталями могут вовсе не интересоватся, прикидывая необходимые им вероятности лишь с устраивающей их точностью. Ну какая им разница в конце концов- что вероятность не 0.45 % а например 0.49% ? А для математиков это основа рассуждений, все эти детали.

Добавлено спустя 4 минуты 19 секунд:

Цитата:
Ну какая им разница в конце концов- что вероятность не 0.45 % а например 0.49% ?

для математиков то это принципиальный вопрос, либо ответ верен, либо нет. Если верен приближенно то с какой точностью. А те кто применяет результат, могут просто об этом даже не задумыватся.)))

Добавлено спустя 13 минут 4 секунды:

Цитата:
Определил вероятности я в данном случае правильно, цифра 0.45% указана во многих учебниках по покеру (её разновидности - Техасскому Холдему). То есть сначала вероятность того, что первая карта будет тузом = 4/52, а что и вторая тоже туз - 3/51. Ну а затем эти вероятности перемножаются.


\[
\frac{4}
{{52}} \cdot \frac{3}
{{51}} \approx {\text{0}}{\text{,0045248868778280542986425339366516}} \ne {\text{0}}{\text{.45\% }}
\]

Как и для математиков \[
\pi  \ne {\text{3}}{\text{,1415926535897932384626433832795 }}
\] и число 3,1415926535897932384626433832795 лишь приближение для числа
\[
\pi 
\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.11.2006, 02:37 


23/11/06
10
$ писал(а):
Цитата:
Определил вероятности я в данном случае правильно, цифра 0.45% указана во многих учебниках по покеру (её разновидности - Техасскому Холдему). То есть сначала вероятность того, что первая карта будет тузом = 4/52, а что и вторая тоже туз - 3/51. Ну а затем эти вероятности перемножаются.

Этот ответ верный, только в случае, если процесс раздачи карт начинается так:

этому игроку выдают две карты, а потом делают все остальное и не важно что.


Может быть, вы и правы, спорить не буду. Ну а если всё-таки каждому игроку выдаётся сразу по две карты, как быть в этом случае? Вот вы говорили про задачу с урнами. А где можно с ней ознакомиться? Не могли бы дать ссылку?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.11.2006, 02:51 


20/10/06
81
Вы теперь должны понять, после моих многословных комментариев, которыми я хотел прояснить ситуацию, что для математиков в зависимости от того как именно раздают карты по сути получаются разные задачи.

  • выдают игроку сразу все его карты и переходят к следующему и опять ему выдают нужное число карт
  • выдают по одной карте попеременно всем игрокам


Я не против поучаствовать в подсчете ваших вероятностей, но чтобы не решать сразу целое множество задач, укажите детали. Как будем считать :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.11.2006, 02:55 


23/11/06
10
$ писал(а):
Вы теперь должны понять, после моих многословных комментариев, которыми я хотел прояснить ситуацию, что для математиков в зависимости от того как именно раздают карты по сути получаются разные задачи.

  • выдают игроку сразу все его карты и переходят к следующему и опять ему выдают нужное число карт
  • выдают по одной карте попеременно всем игрокам

Я не против поучаствовать в подсчете ваших вероятностей, но чтобы не решать сразу целое множество задач, укажите детали. Как будем считать :)


ну если от этого зависит результат расчётов, то тогда второй вариант :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.11.2006, 05:35 


20/10/06
81
Цитата:
Вот вы говорили про задачу с урнами. А где можно с ней ознакомиться? Не могли бы дать ссылку?

Да так принято называть задачи с формулировками вроде "в урне лежат n шаров, из них 5 красных, 7 белых, 4 синих остальные черные, из урны выбрали 4 шара, какова вероятность, что из них 3 черных" :) На таком "языке" формулируют задачи в задачниках по ТВ и матстатистике, ваша задача про раздачу карт из колоды как раз про это. Затруднюсь привести ссылки, я выше описал как считают вероятности и что при этом применяют.

Добавлено спустя 11 минут 44 секунды:

Цитата:
какова вероятность сдачи пары тузов для двух и более игроков?

Это одна задача.

Цитата:
какова вероятность того, что у двух и более игроков с раздачи будет хотя бы одна пара?

это вторая.

Добавлено спустя 2 минуты 55 секунд:

Пусть игроков \[
{\text{n}} \in \overline {{\text{2}}{\text{,10}}}  = \{ s|s \in \mathbb{N},2 \leqslant s \leqslant 10\} 
\]. Остальное потом додумаем))))))

Добавлено спустя 15 минут 15 секунд:

Рассуждаем на тему "из чего состоит пространство элементарных событий" в задаче.

Добавлено спустя 11 минут 31 секунду:

Если игрокам раздается по одной карте, то

\[
\Omega _1  = 
\]<упорядоченная выборка без возвращения n элементов из 52>

Добавлено спустя 2 минуты 51 секунду:

Когда раздают по второй карте, то

\[
\Omega _2  = 
\]<упорядоченная выборка без возвращения n элементов из 52-n>

Добавлено спустя 4 минуты 12 секунд:

В итоге множество элементарных событий задачи \[
\Omega  = \Omega _1  \times \Omega _2  = \{ (\omega _1 ,\omega _2 )|\omega _1  \in \Omega _1 ,\omega _2  \in \Omega _2 \} 
\]

Добавлено спустя 9 минут 55 секунд:

\[
|\Omega | = |\Omega _1 | \cdot |\Omega _2 | = \frac{{52!}}
{{(52 - n)!}} \cdot \frac{{(52 - n)!}}
{{(52 - 2 \cdot n)!}} = \frac{{52!}}
{{(52 - 2 \cdot n)!}}
\]

Добавлено спустя 1 минуту 6 секунд:

Это было число вариантов всевозможных способов упорядоченно (то есть различаем первую и вторую карту, выданную игроку) раздать карты.

Добавлено спустя 1 минуту 49 секунд:

Теперь остается подсчитать число благоприятных исходов.

Сначала надо определить, как выглядит "благоприятный исход".

Добавлено спустя 1 минуту 36 секунд:

Цитата:
какова вероятность сдачи пары тузов для двух и более игроков?

более 2-х игроков у кого по 2 туза быть не может, тузов всего 4.

Добавлено спустя 11 минут 26 секунд:

<благоприятный исход>=<в первой выборке 2 туза, во второй выборке тоже два туза, но у тех же двух игроков, что и в первой выборке>

Добавлено спустя 1 час 6 минут 21 секунду:

первую выборку с двумя тузами можно сделать

<способов сделать первую выборку>=<способов выбрать 2-х игроков кому попали тузы><способов упорядоченно выдать этим игрокам тузы><способов выдать остальным нетузы, упорядоченно>=\[
C_n^2  \cdot A_4^2  \cdot A_{52 - 4}^{n - 2} 
\]

Добавлено спустя 7 минут 43 секунды:

<способов сделать вторую выборку>=<1 способ выбрать места для 2-х тузов, так как это было зафиксировано для первой выборки><способов разместить 2 туза из оставшихся по этим двум игрокам, упорядоченно><способов выдать карты остальным>=\[
1 \cdot A_2^2  \cdot A_{52 - 4 - (n - 2)}^{n - 2} 
\]

Всего благоприятных исходов \[
C_n^2  \cdot A_4^2  \cdot A_{52 - 4}^{n - 2}  \cdot 1 \cdot A_2^2  \cdot A_{52 - 4 - (n - 2)}^{n - 2} 
\]

Искомая вероятность \[
\frac{{C_n^2  \cdot A_4^2  \cdot A_{52 - 4}^{n - 2}  \cdot 1 \cdot A_2^2  \cdot A_{52 - 4 - (n - 2)}^{n - 2} }}
{{|\Omega |}}
\]

осталось только подсократить.

Добавлено спустя 4 минуты 48 секунд:

Это было решение к задаче
Цитата:
какова вероятность сдачи пары тузов для двух и более игроков?


Добавлено спустя 5 минут 3 секунды:

Пардон, сосчитал я немного не то что требовалось.- это вероятность что пара тузов оказалась у двух игроков, а всего игроков более одного)))))) Но вы формулировками сами запутали. То ли нашлось два игрока кому выпало два туза, то ли всего игроков не менее 2-х.





Решение для
Цитата:
какова вероятность того, что у двух и более игроков с раздачи будет хотя бы одна пара?

совершенно аналогично, надо пересчитать число благоприятных исходов в этом случае.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.11.2006, 10:48 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
$ писал(а):
Вы теперь должны понять, после моих многословных комментариев, которыми я хотел прояснить ситуацию, что для математиков в зависимости от того как именно раздают карты по сути получаются разные задачи.

  • выдают игроку сразу все его карты и переходят к следующему и опять ему выдают нужное число карт
  • выдают по одной карте попеременно всем игрокам

Я не против поучаствовать в подсчете ваших вероятностей, но чтобы не решать сразу целое множество задач, укажите детали. Как будем считать :)


Это не две разные задачи, а одна. Ответ получится одинаковый.

Добавлено спустя 8 минут 8 секунд:

Re: Теория вероятностей в покере

akaWild писал(а):
Вопрос в следующем: если вероятность того, что у одного игрока сразу будет пара тузов (то есть с раздачи), равна 4/52*3/51=0.45% (вначале в колоде из 52 карт было четыре туза, затем осталось три туза и 51 карта соответственно)


Вы здесь кое-чего не учли. Во-первых, Вам нужно событие "ровно два туза" или "хотя бы два туза"? Если первое, то Вы не учитываете, что среди оставшихся трех карт, которые получает игрок, также может оказаться туз (или два) и тогда нужное Вам событие не произойдет.

Также отмечу, что почему игрок обязательно должен получить тузы первыми картами? Почему не второй и четвертой или каким-либо другим образом?

Добавлено спустя 25 минут 36 секунд:

На самом деле правильный ответ таков. Если игрок получает пять карт, то вероятность того, что среди них окажутся ровно два туза, равна приблизительно 0.0399 (или 3.99%). От наличия других игроков и того, в какой последовательности раздаются карты, ничего не зависит.

Данную конкретную задачу удобнее всего считать с помощью гипергеометрического распределения.

Добавлено спустя 7 минут 34 секунды:

Вероятность же получить не менее двух тузов при тех же самых условиях равна приближенно 0.04168 (или 4.168%)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.11.2006, 12:50 


23/11/06
10
Попробую ещё более пояснить ситуацию (надеюсь именно прояснить, а не ещё более запутать :). Допустим у меня с раздачи такая комбинация карт: Кh Kd. Общие карты на столе (общие для всех игроков, включая меня и
моих соперников) такие: Ac Ks 2h 8d 6c (A - туз, K- король,h,d,c,s- масти). У меня тройка королей (сет). Я выигрываю в любом случае, кроме того случая, когда у одного из соперников будет пара тузов с раздачи (а не комбинация "пара тузов"
, которую он собрал с учётом общих карт), а именно закрытых карт, которых больше ни у кого нет. Скажем если у меня закрытые карты Kh Kd, то это означает, что больше ни у кого таких карт быть не может и никто из соперников не может их
использовать для составления собственной комбинации, это важно!. Понятно, что в данном случае пара тузов может быть только у одного соперника, сколько бы человек ни играло, так как в колоде осталось всего 3 туза, на двоих не хватит :).
Можно представить другую ситуацию, когда я выигрываю во всех случаях, кроме тех, когда хотя бы у одного из соперников будет либо пара тузов, либо пара королей
(здесь пара тузов либо пара королей может быть также только у одного соперника, так как считаем что король и туз уже открыты, то есть у одного соперника может быть KK, у другого AA, но не может быть, скажем,
KK у одного и KK у другого). Это более реальные ситуации и потому более практически значимые, чем та, которую я обозначил в начале всей этой темы.
Скажем, лично я рассуждаю следующим образом (для ситуации, когда я проигрываю, если у одного из соперников будет пара тузов, один туз уже открыт, открытые, то бишь общие для всех карты я уже обозначил
в начале этого сообщения):
В колоде осталось 45 неизвестных мне карт, из них 3 туза и 42 "не туза". Рассмотрим все возможные варианты, когда я проигрываю. При этом считаем, что кроме меня
в игре принимают участие 2 человека

1.У первого игрока пара тузов, вероятность этого = 3/45*2/44= 0.003. При этом карты другого игрока нас не интересуют, мы всё равно проигрываем.
2.У первого игрока один туз и один "не туз". У второго - два туза, вероятность =2/43*1/42=0.001.
3.У первого игрока тузов нет. У второго два туза, вероятность = 3/43*2/42=0.0033
4.Во всех остальных случаях я выигрываю

Итого вероятность того, что выиграю при данном раскладе = 1-(0.003+0.001+0.0033)=0.9927. Весь вопрос в том, правильно ли я рассуждаю? Если да, то как формализовать этот процесс для ситуации, когда количество
соперников от 2 до 9 , то есть ли универсальная формула для подобного рода расчётов? Мне просто нужно формулу закинуть в прогу, чтобы автоматически подсчитывала подобные вероятности во время игры, либо разработать алгоритм
расчёта. Я просто на самом деле не очень силён в комбинаторике.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.11.2006, 13:04 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Честно говоря, въезжать в правила покера нет ни времени, ни желания. Мой совет - подразобраться в комбинаторике, так как что бы Вам ни насоветовали в разных местах, точной уверенности в том, что Вас не обманули, все равно не будет. Или постарайтесь сформулировать более конкретную задачу более абстрактно.

Не думаю, что можно легко получить простую формулу для расчета всех возможных комбинаций в покере, иначе бы это уже давно сделали и активно этим пользовались бы.

Учет всех возможных комбинаций - сложная задача, с этим даже программа может быстро не управиться.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.11.2006, 17:12 


23/11/06
10
PAV писал(а):
Честно говоря, въезжать в правила покера нет ни времени, ни желания. Мой совет - подразобраться в комбинаторике, так как что бы Вам ни насоветовали в разных местах, точной уверенности в том, что Вас не обманули, все равно не будет. Или постарайтесь сформулировать более конкретную задачу более абстрактно.

Ок, попробую сформулировать вопрос в более общем виде. Пусть в корзине 52 шара. Из них 4 белых, остальные чёрные. Два человека по очереди вытягивают по одному шару.
В итоге оба вытягивают по два шара (один два и другой два). Один человек не знает, шары какого цвета вытащил другой (хотя данное условие, может быть, здесь и не столь важно). Какова вероятность, что хотя бы у одного из них окажется на руках два
белых шара?
Ну и аналогичная задача. Пусть в корзине 45 шаров. Из них 3 белых, остальные чёрные. Условия те же. Какова вероятность, что у одного из них будет на руках два белых шара? (ситуация, в принципе, аналогичная предыдущей,
за исключением того, что два белых шара могут оказаться только у одного из них, на другого просто не хватит белых шаров).
Ну и очень желательно расширить данную задачу до случая (точнее ответ на неё , а не просто условие задачи :) ), когда в выборке шаров принимает участие от 2х до 9ти человек включительно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.11.2006, 19:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3985
akaWild писал(а):
Ок, попробую сформулировать вопрос в более общем виде. Пусть в корзине 52 шара. Из них 4 белых, остальные чёрные. Два человека по очереди вытягивают по одному шару.
В итоге оба вытягивают по два шара (один два и другой два). Один человек не знает, шары какого цвета вытащил другой (хотя данное условие, может быть, здесь и не столь важно). Какова вероятность, что хотя бы у одного из них окажется на руках два
белых шара?

Обозначим через $A_i$ событие {$i$-й игрок вынул два белых шара}. Здесь $i=1,\ldots,m$, ну а $m$ - число игроков, вытягивающих пару шаров (хоть по очереди, хоть наперебой, хоть парой сразу, хоть по одному шару). Нас интересует вероятность события $A=\bigcup\limits_{i=1}^m A_i$. События $A_i$ совместны, поэтому вероятность ищем по формуле включения-исключения:
$$
{\mathsf P}(A) = \sum\limits_{i=1}^m {\mathsf P}(A_i) - \sum\limits_{i < j} {\mathsf P}(A_i \cap A_j) + ... 
$$
Под многоточием скрывались бы с чередующимися знаками суммы вероятности всевозможных пересечений по три, по четыре и т.п. событий, если бы они были возможны (шаров белых не хватит).
Ищем вероятности:
$${\mathsf P}(A_i) = {\mathsf P}(A_1)=\dfrac{4\cdot 3}{52\cdot 51}=\dfrac{C_4^2}{C_{52}^2}$$
- это Вы уже вычислили. Вероятности попарных пересечений:
$${\mathsf P}(A_i\cap A_j) = {\mathsf P}(A_1\cap A_2) =  \dfrac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{52\cdot 51 \cdot 50\cdot 49} = \dfrac{1}{C_{52}^4}.$$
Итого ${\mathsf P}(A) = m \dfrac{C_4^2}{C_{52}^2} - C_m^2 \dfrac{1}{C_{52}^4}$. Здесь $C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.
Короче говоря, просуммировали вероятности всех событий "1, 2, ... игрокам достались два туза" и вычли вероятности их попарных пересечений, учтенные в этой сумме дважды.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.11.2006, 00:18 


23/11/06
10
Большое спасибо всем за помощь! Хотя, на самом деле, задача стоит передо мной куда более сложная, чем я описал, но думаю, что зная ответы на эти вопросы, до остального дойду сам. Просто надо будет приспособить это решение к реальной ситуации, правда уже не на шарах, а к картам и соперникам в покере, ведь надо будет учитывать силу соперников и вероятность того, что тот или иной игрок будет играть ту или иную комбинацию, а не все карты подряд и т.д. и т.п. Ещё раз спасибо.

Я пробовал задавать вопросы по теории вероятностей на покерном сайте, давая более развёрнутые ответы в зависимости от различных игровых ситуаций на столе, но мне так никто там не ответил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group