Способы задания последовательности

[adopto]

Здравствуйте, допустим, имеется некий набор чисел ($a_1, a_2, ... , a_n$). Можем ли мы каким-либо образом определить по какому закону(или рекурентную формулу) изменяются именно эти n чисел? Если не можем, то не значит ли это, что набор чисел абсолютно случаен, эдакий эталон хаоса? Я не математик и даже не знаю с какой стороны подобраться, о производящих функциях читал, но так и не понял каким образом они могут помочь. Вероятно, никаким. Может помочь разбиение всего набора на пары и нахождение зависимости между этими парами?

[ИСН]

Нет и нет. Закон и случайность - это вообще не про конечные наборы.

[adopto]

Можно допустить, что имеющийся набор - лишь начало последовательности. Первые ее n членов. Просто остальные нам пока неизвестны.

[Cash]

А вопрос прикладной или так, философский?
Есть такие слова: аппрокисмация, экстраполяция, интерполяция.
Для вашего случая, наверное, стоит посоветовать гуглить именно последнее.
Но вообще неплохо бы еще сказать - являются ли числа членами некоторого ряда или же это просто выборка из некоей генеральной совокупности?

[adopto]

Вопрос, наверное, философский, но если найдется решение, то может стать и прикладным. Интерполяция применяется для функций, так? То есть набор придется разбить на пары и можно узнать зависимость этих пар между собой.
Набор этот - любые числа, впринципе, на первый взгляд никак между собой не связанные, требуется установить закон, в зависимости от которого они изменяются. Вот, например, первые 6 элементов последовательности (1,2,3,4,5,6 ... ) подчиняются закону $a_n=n+1$. Если немного изменить: (1,2,3,4,5,6,8,10,11,15,20,20,20 ... ), то все рушится и зависимость от номера уже так просто не определить. Но должна же эта зависимость быть вообще? Вот и смысл задачи в определении зависимости, по которой изменяются n членов любой последовательности.
Если пойти с самого начала, то самый первый вопрос: могу я вообще просто от балды написать некоторое количество чисел, например, таких: (1,4,6,10,11,18,32,43,53,99,100,101,102,103,115) и сказать, что это последовательность? Но ни рекурентной фомулы я не знаю, ни закона, знаю только 15 первых членов и желаю узнать по какому закону эти 15 членов зависят от номера, либо друг от друга.

[ИСН]

Можем написать многочлен 14-й степени, по которому они выражаются через номер. Нравится? Нет? Почему?

[adopto]

Естесственно, нравится, потому что ничего другого-то нет. Но решительно непонятно по каким правилам будет составляться этот многочлен. Для наглядности и облегчения можно опустить порядок до третьего. Вот, например, последовательность: (1,4,5 ...).

[Maslov]

Для Вашей последовательности (1, 4, 5, ...) полином может быть таким :

$f_n = \frac 1 2 (n-2)(n-3) - 4(n-1)(n-3) + \frac 5 2 (n-1) (n-2) $

А что толку?

[svv]

А, может быть, закон такой: $f_n=7-\frac 6 n$? Посмотрите, как хорошо получается:

$7-\frac 6 1=7-6=1$

$7-\frac 6 2=7-3=4$

$7-\frac 6 3=7-2=5$

И т. д.
Для любой конечной последовательности можно придумать бесчисленное множество порождающих её "законов".

[svv]

adopto писал(а):

Но решительно непонятно по каким правилам будет составляться этот многочлен.

Википедия: Интерполяционный_многочлен_Лагранжа
Единственно -- почему мы обязаны ограничиваться многочленами? См. мой пример в предыдущем сообщении.

[adopto]

Спасибо, очень полезные сведения. Я так понимаю, в общем случае получим кривую некоторого порядка, которая будет проходить в точности через заданные точки. Но если допустить некоторую погрешность, то можно понизить порядок кривой, хоть до прямой или параболы? Каким образом можно хоть немного упростить уравнение кривой, если знаем, что новая кривая должна отклоняться от заданных в начале точек на некоторую величину t? Я могу предположить метод наименьших квадратов, но быть может найдутся решения лучше?

[PAV]

Метод наименьших квадратов самый употребительный и хорош тем, что с его помощью обычно легко найти ответ аналитически (как правило). Но могут быть и другие методы. Например, вместо квадратов можно брать модули разностей. Можно предложить и другие способы вычисления меры отклонения аппроксимирующей кривой от имеющихся наблюдений. Но в этом случае чаще всего найти решение аналитически нельзя, да и численно тоже бывает не всегда легко (если количество наблюдений велико).

[_hum_]

adopto в сообщении #492745 писал(а):

Здравствуйте, допустим, имеется некий набор чисел ($a_1, a_2, ... , a_n$). Можем ли мы каким-либо образом определить по какому закону(или рекурентную формулу) изменяются именно эти n чисел? Если не можем, то не значит ли это, что набор чисел абсолютно случаен, эдакий эталон хаоса? Я не математик и даже не знаю с какой стороны подобраться, о производящих функциях читал, но так и не понял каким образом они могут помочь. Вероятно, никаким. Может помочь разбиение всего набора на пары и нахождение зависимости между этими парами?

А вы задумывались над тем, что такое "закон", о котором вы говорите? Если под ним вы понимаете какой-то более "экономный" по сравнению с прямым выписыванием способ восстановления всей последовательности, то ознакомьтесь с теорией сложности по Колмогорову.

[adopto]

hum, Вы намекаете на то, что последовательностей, которые можно представить в виде короткого и удобного "закона" чрезвычайно мало?

[_hum_]

Я намекаю на то, что само понятие "короткий и удобный" достаточно непростое, и вам прежде нужно с ним разобраться. Тогда, может, остальные вопросы отпадут или переформулируются.