Посчитать интеграл

[Nimza]

$$I(x) = \int\limits_{\mathbb{R}^d} \frac{e^{i\xi x}}{(\xi + ia)^2} d\xi, \;\;\; a \in \mathbb{R}^d, \;\;\; d > 2$$

вообще говоря мне нужна асимптотика по $x$ на бесконечности. Я пробовал разбить на 2 интеграла (один по $\{ |\xi| < |a| \}$, другой по всему остальному), и на каждом из этих множеств заменить знаменатель на соответствующий интеграл от экспоненты (чтобы свести всё к интегралу Эйлера-Пуассона), но как-то не задалось.

[Vince Diesel]

Что значит квадрат вектора в знаменателе, квадрат модуля?

[Nimza]

Сумма квадратов координат (скалярный квадрат)

[Vince Diesel]

Сделав формально замену $\xi+i a\to \zeta$, получим преобразование Фурье от $|\zeta|^{-2}$, что с точностью до константы равно фундаментальному решению оператора Лапласа. Так что в качестве ответа стоит проверить ф.р. с изменениями, получаемыми после замены.

[Nimza]

К сожалению, я от оператора Лапласа к этому интегралу и пришёл)
Я хочу получить, что $I(x) = O( |x|^{-(d-1)/2})$ на $\infty$.

[Vince Diesel]

Подингтегральная функция аналитическая при $|\operatorname{Im} \xi|<\alpha=\min(|a_1|,|a_2|,|a_3|)$, так что преобразование Фурье должно убывать не медленне, чем $e^{-b|x|}$ для любого $b\in (0,|\alpha|)$. А судя по одномерному случаю, который считается явно, то и как экспонента $e^{-\alpha|x|}$, домноженная на функцию полиномиального роста.

[Nimza]

Vince Diesel в сообщении #490755 писал(а):

так что преобразование Фурье должно убывать не медленне

А откуда это следует?

[Vince Diesel]

Свойство такое у аналитических функций. Рид, Саймон, методы современной математической физики, т.2.

[Nimza]

Вы имеете в виду теорему IX.14 стр.29? Тогда, если я не ошибаюсь, она работает (если работает) только при $d = 3$, т.к. в других случаях подынтегральная функция не из $L^2(\mathbb{R}^d)$ (и интеграл представляет собой обобщенную функцию).

[Vince Diesel]

Да. Ну так это только один вариант утверждения. Может, доказательство модифицируется для $L_p$ или для ограниченных функций. Просто физики чаще используют $L_2$. Однако это общий факт. Для коэффициентов Фурье периодической аналитической функции тоже имеет место экспоненциальное убывание.

[Oleg Zubelevich]

Если $I$, как Вы говорите, обобщенная функция, то что Вы имеете ввиду, когда пишите формулу

Nimza в сообщении #490740 писал(а):

о $I(x) = O( |x|^{-(d-1)/2})$ на $\infty$.

?

[Nimza]

Oleg Zubelevich
Я не уверен на 100% что имеется в виду у авторов, но скорее всего это означает
$\int\limits_{\mathbb{R}^d} \left|I(x)f(x)\right| dx\right \leqslant $\int\limits_{\mathbb{R}^d} \frac{C\left|f(x)\right|}{|x|^{(d-1)/2}} dx$ для любых пробных функций $f(x)$.

[Vince Diesel]

Функция должна быть вполне себе классической, как ф.р. эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами. В нуле особенность будет и все.

[ewert]

$$\int\limits_{\mathbb{R}^d} \dfrac{e^{i\xi x}}{(\xi + ia)^2} d\xi=\int\limits_{\mathbb{R}^d} \dfrac{e^{i\xi x}}{|\xi|^2 +|a|^2} d\xi=\int\limits_{\mathbb{R}^{d-1}}d\widetilde\xi\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{e^{i\xi_1|x|}}{\xi_1^2+|\widetilde\xi|^2 +|a|^2} d\xi_1=$$

$$=\int\limits_{\mathbb{R}^{d-1}}d\widetilde\xi\cdot\pi\,\dfrac{e^{-|x|\sqrt{|\widetilde\xi|^2 +|a|^2}}}{\sqrt{|\widetilde\xi|^2 +|a|^2}}=\pi\,S_{d-2}\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{e^{-|x|\sqrt{r^2 +|a|^2}}}{\sqrt{r^2 +|a|^2}}\,r^{d-2}\,dr\leqslant$$

$$\leqslant\pi\,S_{d-2}\int\limits_0^{+\infty}{e^{-|x|\,r}}\,r^{d-3}\,dr=\pi\,S_{d-2}\cdot(d-3)!\cdot r^{2-d}$$

[Nimza]

ewert
А чем обоснован первый переход? $(\xi + ia)^2 = |\xi|^2 - |a|^2 +2ia\xi$