Посчитать интеграл

[ewert]

Nimza в сообщении #490967 писал(а):

$(\xi + ia)^2 = |\xi|^2 - |a|^2 +2ia\xi$

Нет:

$$|x+ia|^2=(x+ia,x+ia)=(x,x)+(ia,x)+(x,ia)+(ia,ia)=|x|^2+i(a,x)-i(x,a)-i^2|a|^2$$

(где $-i$ -- это $\overline{i}$).В любом другом понимании самое первое выражение не имеет смысла.

[Nimza]

Ой! Спасибо!

[Vince Diesel]

В таком случае это будет ф.р. уравнения $\Delta u-|a|^2u=0$. Его можно получить из ф.р. уравнения Гельмгольца $\Delta u+k^2u=0$ формальной заменой $k=i|a|$. А последние выражаются через цилиндрические функции. Например, для $n=3$ в результате получается $\displaystyle\frac{e^{-|a||x|}}{4\pi |x|}$.

[Nimza]

Ох, снова возвращаюсь к этой теме.

ewert в сообщении #490979 писал(а):

Нет:

Всё-таки у авторов имелось в виду, что $(a+ib)^2$ это не скалярный квадрат, а сумма квадратов координат. Задачка немного более общая исходно, может это поможет? До сих пор ничего не могу поделать.

$\int\limits_{\mathbb{R}^d} \frac{e^{i\xi x}}{(\xi + k)^2} d\xi$

Здесь $k \in \mathbb{C}^d$, $k^2=0$, $x \in \mathbb{R}^d$ и умножение введено как $ab = a_{1}b_{1} + ... +a_{n}b_{n}$.

P.S. Мне предлагали использовать методы наподобие метода стационарной фазы. Как это здесь прикрутить, что-то не особо ясно.