Представление функции, заданной графически, интегралом Фурье

[Dext]

Помогите разобраться. Надо представить функцию, заданную графически интегралом Фурье (см. рис.).



Если не ошибаюсь, то аналитически её можно записать так

\[f(x)=\left\{\!\begin{aligned}0,&\quad x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\!\left(2k+\dfrac{1}{2},\,2k+\dfrac{3}{2}\right)\!,\\ 2,&\quad x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\!\left(2k+\dfrac{3}{2},\,2k+\dfrac{5}{2}\right)\!.\end{aligned}\right.\[

Тогда, с учётом того, что функция \[f(x)\[ чётная, имеем

\[f(x)\sim\frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{+\infty}\Biggl(\int\limits_{0}^{+\infty}f(t)\cos\alpha t\,dt\Biggr)\cos\alpha x\,d\alpha\[
Но проблема в том, что интеграл \[\int\limits_{0}^{+\infty}f(t)\cos\alpha t\,dt= 2\int\limits_{0}^{1/2}\cos\alpha t\,dt+2\sum_{n=0}^{\infty}\int\limits_{2n+\tfrac{3}{2}}^{2n+\tfrac{5}{2}}\cos\alpha t\,dt\[ равен нулю.
Не догоняю, что не учёл, где ошибка?

[profrotter]

Имею предположение, что в задаче требуется представить функцию рядом Фурье.

[Dext]

profrotter

Нет, именно интегралом Фурье. Буквально: "Представить функцию, заданную графически, интегралом Фурье в комплексной и действительной формах".

[profrotter]

Писал я недавно в сообщении #487995 о преобразовании Фурье периодической функции. Посмотрите - может поможет.

-- Сб окт 01, 2011 23:30:39 --

Кстати, интеграл Фурье в этом случае всё-равно преобразуется в ряд.

[Dext]

profrotter
Спасибо, но теории и так хватает.

[ИСН]

У Вас периодическая функция. Так нельзя.

[Dext]

А поконкретней, что именно нельзя, на каком этапе ошибка??

[ИСН]

На этапе постановки задачи, как profrotter предлагал. (Или как-то иначе.)

[Dext]

А разве преобразования Фурье для этой функции невозможно в пространстве обобщённых функций?

[ewert]

Разложите её именно в ряд Фурье:

$f(x)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}c_ke^{ikx}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}dp\left(\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}c_k\delta(p-k)\right)e^{ipx}.$

Выражение в скобках -- это и есть значение интеграла Фурье. Со всяким там пропущенными константами и знаками сами разберитесь.