Кубический сплайн

[Alec83]

Кто поможет дико срочно решить кубический сплайн, т.е. просто расписать его на бумаге

Х -4 4
У 2 -3
угол альфа 45 -45 градусов

[мат-ламер]

И сколько звеньев у этого сплайна?

[ewert]

мат-ламер в сообщении #487767 писал(а):

И сколько звеньев у этого сплайна?

Одно. Заданы условия интерполирования, и заданы наклоны (плюс-минус единичные) на концах. Т.е. слово "звенья" тут вообще не при чём.

Автору же тупо следует найти готовую формулу насчёт построения сплайна по заданным условиям интерполирования и заданным наклонам (её в любом приличном учебнике можно найти) -- или, если лень, не менее тупо вывести самостоятельно.

[мат-ламер]

Мне кажется, что это задача по теме "эрмитова интерполяция" (т.е. интерполирование многочленом как по значениям функций, так и по значениям производной). Хотя можно и составить систему из четырёх уравнений.

-- Чт сен 29, 2011 21:54:36 --

Теорию эрмитовой интерполяции не помню. Но я бы начал с того, что нашёл четыре базовых многочлена третьей степени с правильно подобранными граничными условиями. А затем искомый многочлен искать как линейную комбинацию этих четырёх.

[ewert]

Это настолько частный случай эрмитовой интерполяции, что всё-таки сплайн.

Вот готовая формула:

$S(x)=f_0+\widetilde v\cdot(x-x_0)+\dfrac{v_0-\widetilde v}{h^2}(x-x_0)(x-x_1)^2+\dfrac{v_1-\widetilde v}{h^2}(x-x_0)^2(x-x_1),$

где $v_0,\ v_1$ -- это "наклоны", т.е. значения производной в узлах, соответственно, $x_0$ и $x_1$; $h=x_1-x_0$ -- шаг и $\widetilde v=\dfrac{f_1-f_0}{h}$ -- "средний наклон" на этом шаге.

Хотя если все значения даны численно, то проще тупо выписать общий вид $S(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ и составить систему из четырёх уравнений на коэффициенты -- по два на граничные значения и на производные в граничных точках.