Треугольная сетка и круг

[nnosipov]

На плоскости рассмотрим треугольную сетку $\Lambda_h$, ячейка которой представляет собой правильный треугольник со стороной $h$. Пусть $K$ --- круг единичного радиуса с центром в одном из узлов сетки $\Lambda_h$. Подсчитаем количество $T_h(K)$ треугольников, стороны которых лежат на линиях сетки $\Lambda_h$, а вершины --- в узлах этой сетки, расположенных внутри $K$ (самые маленькие такие треугольники --- это ячейки сетки $\Lambda_h$, но учитываются не только они). Задача состоит в том, чтобы найти предел $h^3T_h(K)$ при $h \to 0$.

[alex1910]

nnosipov в сообщении #485286 писал(а):

На плоскости рассмотрим треугольную сетку $\Lambda_h$, ячейка которой представляет собой правильный треугольник со стороной $h$. Пусть $K$ --- круг единичного радиуса с центром в одном из узлов сетки $\Lambda_h$. Подсчитаем количество $T_h(K)$ треугольников, стороны которых лежат на линиях сетки $\Lambda_h$, а вершины --- в узлах этой сетки, расположенных внутри $K$. Задача состоит в том, чтобы найти предел $h^3T_h(K)$ при $h \to 0$.

Вы не ошиблись в условии - h^3?? Может h^2?

При Вашем условии - ноль.
При h^2 - 4pi/sqrt(3).

И, при любом условии, неважно, где лежит центр круга - в узлах сетки или нет.

[nnosipov]

alex1910 в сообщении #485288 писал(а):

Вы не ошиблись в условии - h^3?? Может h^2?

Нет, $h^3$. А положение центра круга действительно неважно.

А, понял, почему Вы считаете, что должно быть $h^2$. Вы имеете в виду только самые маленькие треугольники, т.е. ячейки сетки. Количество ячеек, конечно, равно тому, что Вы написали, но это очевидно.

[alex1910]

nnosipov в сообщении #485291 писал(а):

alex1910 в сообщении #485288 писал(а):

Вы не ошиблись в условии - h^3?? Может h^2?

Нет, $h^3$. А положение центра круга действительно неважно.

А, понял, почему Вы считаете, что должно быть $h^2$. Вы имеете в виду только самые маленькие треугольники, т.е. ячейки сетки. Количество ячеек, конечно, равно тому, что Вы написали, но это очевидно.

Так поправьте (филологически она верна, но формально лишнее уточнение не помешало бы) формулировку, иначе многие поймут задачу неверно.

UPD. Если не просчитался (считал нагло-махновским методом), то ДВА ПИ.
Верно?

[nnosipov]

alex1910, формулировку подправил, но ответ у меня другой. Посчитайте своим методом, заменив круг на правильный треугольник со сторонами, параллельными линиям сетки. Если и здесь ответы не совпадут, то ...

[venco]

А у меня нагло получилось $\frac 8 {\sqrt 3}$

[nnosipov]

venco в сообщении #485432 писал(а):

А у меня нагло получилось $\frac 8 {\sqrt 3}$

Думается мне, что Ваш наглый метод вполне честный Намекните хоть, что ли ... полюбопытствуем.

[venco]

nnosipov в сообщении #485433 писал(а):

venco в сообщении #485432 писал(а):

А у меня нагло получилось $\frac 8 {\sqrt 3}$

Думается мне, что Ваш наглый метод вполне честный Намекните хоть, что ли ... полюбопытствуем.

Не, наглый. Програмку написал, и получившееся число узнал.
Сначала, конечно, честно посчитать попытался, но получившийся результат меня не удовлетворил.

[nnosipov]

venco в сообщении #485434 писал(а):

Не, наглый. Програмку написал, и получившееся число узнал.

Вот это фокус! Да уж! Если скажут, что Вы знаете почти все (в смысле Лебега) вещественные числа, не удивлюсь.

[alex1910]

nnosipov в сообщении #485426 писал(а):

alex1910, формулировку подправил, но ответ у меня другой. Посчитайте своим методом, заменив круг на правильный треугольник со сторонами, параллельными линиям сетки. Если и здесь ответы не совпадут, то ...

1. Если заменю круг на треугольник - ответ изменится, разумеется.
2. Как может получиться 8/sqrt(3) - не понимаю. ПИ там сокращаться не должно.

А считал просто - h^3*сумму по длине стороны "k" : (~количество треугольников в сетке со стороной kh)*[ 0.5(k+1)(k+2)-2] В сумме берется первые sqrt(3)/h членов.

Разумеется, предел данного выражения (ДВА ПИ) может быть немного больше, чем точный ответ задачи - потому и "нагло-махновский метод".

Считать честно - лениво. Если есть какой-то очень простой способ - расскажите, пожалуйста.

[venco]

alex1910 в сообщении #485489 писал(а):

1. Если заменю круг на треугольник - ответ изменится, разумеется.

А должен измениться.

[nnosipov]

alex1910 в сообщении #485489 писал(а):

Считать честно - лениво. Если есть какой-то очень простой способ - расскажите, пожалуйста.

Способ несложный, но чуть-чуть фантазии потребуется. Я вот "бабочки" рисовал, а тот двойной интеграл, который из этого вылез, Maple легко сосчитал (детали как-нибудь попозже изложу). И получилось, как у venco. А то, что у него получилось, как у меня, подтверждает, что мы не наврали (ведь его метод полного перебора вряд ли ошибочен). Почему исчезает ПИ --- загадка природы.

[EtCetera]

У меня, видимо, фантазии не хватило, поэтому двойной интеграл получился довольно страшненьким:

$$2\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\left(S_1+S_2+S_3+S_4\right)$$

Где

$$S_1=\int\limits_{-1}^{-\frac{1}{2}}\int\limits_{0}^{2\sqrt{1-y^2}}\left(2\sqrt{1-y^2}-x\right)\,dxdy$$

$$S_2=\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{3}}\left(2\sqrt{1-y^2}-x\right)\,dxdy$$

$$S_3=\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\int\limits_{\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{3}}^{\frac{2}{\sqrt{3}}\left(1-y\right)}2\sqrt{1-\left(y+x\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\,dxdy$$

$$S_4=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}\int\limits_{0}^{\frac{2}{\sqrt{3}}\left(1-y\right)}2\sqrt{1-\left(y+x\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\,dxdy$$

Но ответ, как ни странно, тот же .

P.S. Небольшую проверку можно осуществить, решив аналогичную задачу для правильного шестиугольника со стороной длиной 1 (стороны шестиугольника параллельны соответствующим линиям сетки). Поскольку в этом случае интеграл можно и не брать, ответ получить несколько проще: $\dfrac{7}{2}$ (если мы со Вольфрамом не ошиблись). Тогда ответ к первоначальной задаче должен быть заключен между $\dfrac{7}{2}=3{,}5$ и $\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^3\cdot\dfrac{7}{2}=\dfrac{28}{3\sqrt{3}}\approx 5{,}39$.

[nnosipov]

EtCetera, спасибо за проведённые опыты. Особенно радует совпадение ответов . Мой (единственный) интеграл тоже не красавец, похож на Ваши, но в полярных координатах взялся (считал его года два назад, уже не помню деталей). А что за константа, которая $\approx 5,39$? А, дошло.

[alex1910]

А какой-то тайный смысл в этой задаче есть или это просто упражнение на технику?