Ряд из корней уравнения

[Whitaker]

Здравствуйте!
Пусть $\lambda_n (n=1, 2, ...)$ - последовательные положительные корни уравнения $\tg x =x$.
Исследовать сходимость ряда $\sum \limits_{n=1}^{\infty} {\lambda_n}^{-2}$.

Честно говоря даже не знаю с чего начать. Подскажите пожалуйста.

[ИСН]

Хороший ряд. Сами корни хрен выразишь. Но каждый из них меньше чего-то и больше чего-то.

[Whitaker]

Согласен неплохой ряд. Но пока не могу найти соответствующие оценки для корней данного уравнения.

[Dan B-Yallay]

Оценить его сверху очень простым сходящимся?

-- Ср сен 21, 2011 13:40:20 --

Whitaker в сообщении #485038 писал(а):

Согласен неплохой ряд. Но пока не могу найти соответствующие оценки для корней данного уравнения.

Все корни лежат между чем-то и другим чем-то. Вам же уже сказали...

[Whitaker]

Это я и сам понял то. Пытаюсь пока найти между чем и чем они лежат.

[Dan B-Yallay]

Whitaker в сообщении #485040 писал(а):

Это я и сам понял то. Пытаюсь пока найти между чем и чем они лежат.

График тангенса помните?

[Whitaker]

Пока не забыл.

[Dan B-Yallay]

Нарисуйте на бумажке график $y=\tg(x)$ и график $y=x$, посмотрите где лежат абсциссы пересечений этих графиков.

[Whitaker]

Нарисовал на бумажке графики функций $y=\tg x$ и $y=x$. Вижу что они лежат между $\pi n$ и $\dfrac{\pi}{2}+\pi n$

-- Ср сен 21, 2011 23:00:45 --

Можно ли сказать, что $\pi n< \lambda_n < \dfrac{\pi}{2}+\pi n$ ?

[Dan B-Yallay]

Замечательно. То, что абсциссы - это и есть $\lambda_n$ то есть решения уравнения - понятно?
А теперь можете просто тупо оценивать:

$$\dfrac 1 {\lambda_n^2} \leqslant ?$$

-- Ср сен 21, 2011 14:05:08 --

Whitaker писал(а):

Можно ли сказать, что $\pi n< \lambda_n < \dfrac{\pi}{2}+\pi n$ ?

Естественно. К чему Вас и вел ИСН

[Whitaker]

Да да понял уважаемый Dan B-Yallay.
Спасибо за помощь Вам и ИСН.

[Klad33]

Я объясню свое мнение максимально просто. Рассмотрим несколько корней: 4,493 ; 7.725 ; 10.904...

Это можно примерно описать такой линейной связью:

$4.493+(n-1) 3.14 $

Это видно если посмотреть на график пересечения двух функций.

Поэтому $\sum \limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{\big [4.493+(n-1) 3.14 \big ]^2}= 0.1009824 $

То есть данный ряд сходится приблизительно к этому числу.