Алгерба.Расширения полей.

[David Sunrise]

Задача:Рассмотрим $\item\(\mathbb{Q}(\sqrt[7]{5})$ ;
(то есть рассматриваем поле рациональных чисел с присоединенным корнем многочлена $x^7-5$,нужно доказать что число $\sqrt[7]{5}$ удовлетворяет уравнению степени не выше 7,или является корнем ур степ не выше 7).
Мое "недорешение" : $\item\(\mathbb{Q}(\sqrt[7]{5})=\mathbb{Q}/(x^7-5)$ (последнее факторизация),то есть множество корней уравнений в правой части совподает с полем в левой, поэтому можно поставить равенство, да?
Дальше я замечаю что пространство $\mathbb{Q}/(x^7-5)$ 7-мерно, базисом является $1+(x^7-5),x+(x^7-5)...x^6+(x^7-5)$ (Кстати вопрос,если обозначать $(x^7-5) $(то есть как класс),это множество многочленов делящихся на $x^7-5 $,да?),а потом мне нужно как то связать что пространство 7 мерно а существует многочлен степени больше 7 такой что $\sqrt[7]{5}$ является его корнем,и получит противоречие но я никак не врубаюсь как...
Буду очень признателен за помощь!!!P.S По пути я задавал глупые вопросы в которых я тоже не до конца разбираюсь,так что если не сложно откройте истину))

[Joker_vD]

Переформулируйте, пожалуйста, что именно данно, $\mathbb Q(\sqrt[7]5)$ или $\mathbb Q[x]/(x^7-5)$, а так же что конкретно нужно доказать — я ничего из первого абзаца не понял.

[David Sunrise]

Да....прошу прощения,везьде где было написанно $\mathbb{Q}/(x^7-5)$ нужно писать $\mathbb{Q}[x]/(x^7-5)$

[nnosipov]

David Sunrise в сообщении #484527 писал(а):

Дальше я замечаю что пространство $\mathbb{Q}/(x^7-5)$ 7-мерно

Вот именно это Вам и нужно фактически доказать. Это утверждение эквивалентно тому, что многочлен $x^7-5$ неприводим над $\mathbb{Q}$.

[David Sunrise]

Просто сказанно доказать $(\sqrt[7]5)$ является корнем многочлена с рациональными коэффициентами степени не больше 7,а расширеня которые я рассматриваю не даны и они для решения....

[nnosipov]

David Sunrise в сообщении #484551 писал(а):

Просто сказанно доказать $(\sqrt[7]5)$ является корнем многочлена с рациональными коэффициентами степени не больше 7

Если так, то доказывать здесь нечего. Уточните формулировку задачи.

[David Sunrise]

То есть что доказывать,нужно доказать что $(\sqrt[7]5)$ не может быть корнем многочлена степени больше 7 ,это что ли так просто?или что то я вообще запутался...

[nnosipov]

David Sunrise в сообщении #484565 писал(а):

или что то я вообще запутался...

Это точно. Сначала чётко сформулируйте свой вопрос, а уж потом пытайтесь найти на него ответ.

[David Sunrise]

доказать что $\sqrt [7]{5}$ не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами степени больше 7,вроде довольно четко...

[Joker_vD]

Вполне может: взять хотя бы многочлен $x^{14}-10x^7+25$...

[nnosipov]

David Sunrise в сообщении #484571 писал(а):

доказать что $\sqrt [7]{5}$ не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами степени больше 7,вроде довольно четко...

Да, теперь чётко, но доказать не получится, потому что утверждение неверно: число $\sqrt [7]{5}$ есть корень многочлена $(x^7-5)^2$, который имеет рациональные коэффициенты и степень которого больше 7.

[David Sunrise]

Может многочлен должен быть неприводим,тогда есть смысл?

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #484550 писал(а):

многочлен $x^7-5$ неприводим над $\mathbb{Q}$

Вот это утверждение имеет смысл доказывать. Другая формулировка: найти многочлен с рациональными коэффициентами наименьшей степени, имеющий корнем число $\sqrt[7]{5}$.

[David Sunrise]

Вот.Фух...Я незнаю как это доказать,в самом начали были наметки доказательства...но...хотел бы узнать как это доказать...

[nnosipov]

Поскольку это простой учебный вопрос, имеет смысл заглянуть в конспект лекций по алгебре (или в какой-нибудь учебник по высшей алгебре).