Найти формулу преобразования координат

[Sergey621]

Здравствуйте, уважаемые математики!
Помогите, пожалуйста, преодолеть трудности, которые возникли при решении нижеописанной задачи.

В трёхмерном пространстве имеется полусфера единичного радиуса (z >= 0).
Существует некоторое отображение (P) этой полусферы (каждой её точки, или радиус-вектора) на сферу единичного радиуса, заключающееся в следующем:
1) поворот радиус-вектора на некоторые постоянные (но неизвестные) углы (вокруг каждой из осей координат);
2) "растягивание" полусферы до полной сферы (в сферических координатах это выглядело бы как удвоение угла theta между радиус-вектором и осью Oz', которая получена из Oz тем же поворотом первого шага);
3) ещё один поворот на другие постоянные (но тоже неизвестные) углы.

Заданы несколько точек, для каждой точки указана пара координат: до отображения (на исходной полусфере) и после (на конечной сфере). Точек можно набрать столько, сколько понадобится.
Требуется найти само отображение P, то есть углы поворота на шагах 1) и 3).

Наставьте, пожалуйста, на путь истинный, а то чего-то мне даже подступиться сложно... второй шаг, насколько я понимаю, делает преобразование нелинейным, что очень мешает; формулы сферической геометрии с наскока пользы не принесли; в каком направлении копать?
Заранее спасибо %)

upd. и можно ли убрать первый/третий шаг? то есть, может, он является "излишним", и можно оставить одно единственное вращение, а "растягивание" производить до или после него, и результат будет получаться тем же?

[arseniiv]

Sergey621 в сообщении #479529 писал(а):

1) поворот радиус-вектора на некоторые постоянные (но неизвестные) углы (вокруг каждой из осей координат)

Правильно я понимаю, что после этого полусфера не обязательно отображается в себя? Тогда преобразование (2) надо выполнять над повёрнутой сферой, и оно в общем случае не будет заключаться просто в удвоении $\theta$! Но, конечно, можно сделать вид, что (1) не было, а потом уже это подправить.

[Sergey621]

arseniiv, спасибо за отклик!

arseniiv в сообщении #479532 писал(а):

Правильно я понимаю, что после этого полусфера не обязательно отображается в себя?

Да-да, она может "съехать на бок".

arseniiv в сообщении #479532 писал(а):

Тогда преобразование (2) надо выполнять над повёрнутой сферой, и оно в общем случае не будет заключаться просто в удвоении $\theta$!

В исходных координатах -- да, не будет; скажем так, удваивается угол между осью симметрии полусферы и радиус-вектором.

arseniiv в сообщении #479532 писал(а):

Но, конечно, можно сделать вид, что (1) не было, а потом уже это подправить.

То есть, всё же не важно, в каком порядке выполнять (1) и (2)? Тогда и поворот можно оставить только один, вроде бы...

[arseniiv]

(Тут были сомнения, которые удалил.) Получается, что не важно.

Если не ошибаюсь, то для (2) получаются такие формулы:

\begin{gather*} x' = \frac{2xz}r, \\ y' = \frac{2yz}r, \\ z' = \frac{2z^2}r - r. \end{gather*}

Sergey621 в сообщении #479534 писал(а):

Тогда и поворот можно оставить только один, вроде бы...

Именно так.

-- Чт сен 01, 2011 23:12:31 --

В общем, теперь вам осталось «объединить» формулу для поворота в обратную сторону с выражением $x, y, z$ через $x', y', z'$.