2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти формулу преобразования координат
Сообщение01.09.2011, 18:40 
Здравствуйте, уважаемые математики!
Помогите, пожалуйста, преодолеть трудности, которые возникли при решении нижеописанной задачи.

В трёхмерном пространстве имеется полусфера единичного радиуса (z >= 0).
Существует некоторое отображение (P) этой полусферы (каждой её точки, или радиус-вектора) на сферу единичного радиуса, заключающееся в следующем:
1) поворот радиус-вектора на некоторые постоянные (но неизвестные) углы (вокруг каждой из осей координат);
2) "растягивание" полусферы до полной сферы (в сферических координатах это выглядело бы как удвоение угла theta между радиус-вектором и осью Oz', которая получена из Oz тем же поворотом первого шага);
3) ещё один поворот на другие постоянные (но тоже неизвестные) углы.

Заданы несколько точек, для каждой точки указана пара координат: до отображения (на исходной полусфере) и после (на конечной сфере). Точек можно набрать столько, сколько понадобится.
Требуется найти само отображение P, то есть углы поворота на шагах 1) и 3).

Наставьте, пожалуйста, на путь истинный, а то чего-то мне даже подступиться сложно... второй шаг, насколько я понимаю, делает преобразование нелинейным, что очень мешает; формулы сферической геометрии с наскока пользы не принесли; в каком направлении копать?
Заранее спасибо %)

upd. и можно ли убрать первый/третий шаг? то есть, может, он является "излишним", и можно оставить одно единственное вращение, а "растягивание" производить до или после него, и результат будет получаться тем же?

 
 
 
 Re: Найти формулу преобразования координат
Сообщение01.09.2011, 19:10 
Sergey621 в сообщении #479529 писал(а):
1) поворот радиус-вектора на некоторые постоянные (но неизвестные) углы (вокруг каждой из осей координат)
Правильно я понимаю, что после этого полусфера не обязательно отображается в себя? Тогда преобразование (2) надо выполнять над повёрнутой сферой, и оно в общем случае не будет заключаться просто в удвоении $\theta$! Но, конечно, можно сделать вид, что (1) не было, а потом уже это подправить.

 
 
 
 Re: Найти формулу преобразования координат
Сообщение01.09.2011, 19:21 
arseniiv, спасибо за отклик!
arseniiv в сообщении #479532 писал(а):
Правильно я понимаю, что после этого полусфера не обязательно отображается в себя?

Да-да, она может "съехать на бок".

arseniiv в сообщении #479532 писал(а):
Тогда преобразование (2) надо выполнять над повёрнутой сферой, и оно в общем случае не будет заключаться просто в удвоении $\theta$!

В исходных координатах -- да, не будет; скажем так, удваивается угол между осью симметрии полусферы и радиус-вектором.

arseniiv в сообщении #479532 писал(а):
Но, конечно, можно сделать вид, что (1) не было, а потом уже это подправить.

То есть, всё же не важно, в каком порядке выполнять (1) и (2)? Тогда и поворот можно оставить только один, вроде бы...

 
 
 
 Re: Найти формулу преобразования координат
Сообщение01.09.2011, 19:36 
(Тут были сомнения, которые удалил.) Получается, что не важно.

Если не ошибаюсь, то для (2) получаются такие формулы:

\begin{gather*} 
x' = \frac{2xz}r, \\ 
y' = \frac{2yz}r, \\ 
z' = \frac{2z^2}r - r. 
\end{gather*}


Sergey621 в сообщении #479534 писал(а):
Тогда и поворот можно оставить только один, вроде бы...
Именно так.

-- Чт сен 01, 2011 23:12:31 --

В общем, теперь вам осталось «объединить» формулу для поворота в обратную сторону с выражением $x, y, z$ через $x', y', z'$.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group