РядЫ

[freedom_of_heart]

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n^m+\alpha_1n^{m-1}+\alpha_2n^{m-2}+...+\alpha_m}{n^k+\beta_1n^{k-1}+\beta_2n^{k-2}+...+\beta_k}$$

$n^k+\beta_1n^{k-1}+\beta_2n^{k-2}+...+\beta_k\ne 0 (\forall n )$

Про абсолютную сходимость есть соображение, что для нее должно выполняться неравенство $k-m>1$
(Тк, если при всех $i,j$ будет выполняться $\alpha_i=\beta_j=0$ получается гармонический ряд)

Про условную сходимость есть соображение, что $k-m>0$ и ряд по лейбницу должен сойтись, но не факт, что монотонно. Как быть?

2. Исследовать на сходимость

$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^n(n+4)}{\sqrt[3]{n^2+1}(2+\sqrt{n^2+3})}$

По признаку Лейбница -- стремление к нулю есть, но не получается доказать, что это стремление -- монотонное...
Производная -- ужасная, а разность $a_{n+1}-a_{n}$ тоже не спасает.

[Dan B-Yallay]

freedom_of_heart в сообщении #479313 писал(а):

Про условную сходимость есть соображение, что $k-m>0$ и ряд по лейбницу должен сойтись,

$m=0, k=1$ ??

[Sonic86]

freedom_of_heart в сообщении #479313 писал(а):

2. Исследовать на сходимость

$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^n(n+4)}{\sqrt[3]{n^2+1}(2+\sqrt{n^2+3})}$

Можно "разбить" ряд на кусочки, из которых один сходится абсолютно, а второй сходится тогда и только тогда, когда сходится исходный. Проще всего начать "разбивать" с числителя. Не факт, что это единственный способ. А там уж и производная проще будет...

freedom_of_heart в сообщении #479313 писал(а):

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n^m+\alpha_1n^{m-1}+\alpha_2n^{m-2}+...+\alpha_m}{n^k+\beta_1n^{k-1}+\beta_2n^{k-2}+...+\beta_k}$$

Используйте асимптотику $n$-го члена ряда.

[freedom_of_heart]

Спасибо! А $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^nn}{\sqrt[3]{n^2+1}(2+\sqrt{n^2+3})}$

$\Big(\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^2+1}(2+\sqrt{x^2+3})}\Big)'=\dfrac{\sqrt[3]{x^2+1}(2+\sqrt{x^2+3})-\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}\cdot (2+\sqrt{x^2+3})-\sqrt[3]{x^2+1}\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{\Big(\sqrt[3]{x^2+1}(2+\sqrt{x^2+3})\Big)^2}}$

Не очень штучка получилась. Что дальше делать?

А что там с асимптотикой -- не очень понятно.

[Bulinator]

Dan B-Yallay в сообщении #479323 писал(а):

$m=0, k=1$ ??

Там строгое неравенство стоит.

[sergei1961]

единица, делённая на корень третьей степени само убывает. А у дроби, что осталась, производная при больших эн-тоже отрицательна. Произведение двух убывающих, однако...

[Sonic86]

freedom_of_heart в сообщении #479345 писал(а):

Не очень штучка получилась. Что дальше делать?

Неее, теперь "разбивайте" знаменатель. Будет немного сложнее, но сработает. Как минимум еще 2 раза "разбивать". Производная потом.

freedom_of_heart в сообщении #479345 писал(а):

А что там с асимптотикой -- не очень понятно.

Предельный признак сравнения знаете?
Чему асимптотически эквивалентен многочлен $3n^3-2n^2+7n-8$ (самая простая функция какая?)?

[freedom_of_heart]

Sonic86 в сообщении #479353 писал(а):

Неее, теперь "разбивайте" знаменатель. Будет немного сложнее, но сработает. Как минимум еще 2 раза "разбивать". Производная потом.

Спасибо! А как тут разбить, ведь на простейшие не разложить?

Sonic86 в сообщении #479353 писал(а):

Предельный признак сравнения знаете?
Чему асимптотически эквивалентен многочлен $3n^3-2n^2+7n-8$ (самая простая функция какая?)?

Знаю предельный признак сравнения, но ведь он применим только для положительных рядов...А у нас ведь знаки могут меняться. $$3n^3-2n^2+7n-8\sim 3n^2$

-- Ср авг 31, 2011 22:00:30 --

sergei1961 в сообщении #479352 писал(а):

единица, делённая на корень третьей степени само убывает. А у дроби, что осталась, производная при больших эн-тоже отрицательна. Произведение двух убывающих, однако...

Ммм, по моему так действительно проще будет, спасибо!

[Dan B-Yallay]

Bulinator в сообщении #479350 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #479323 писал(а):

$m=0, k=1$ ??

Там строгое неравенство стоит.

Не понял... Разница $k-m$ равна единице и строго больше нуля.
Или Вы не об этом?

freedom_of_heart писал(а):

Знаю предельный признак сравнения, но ведь он применим только для положительных рядов..

Вынесите наибольшую степень $n$ в числителе и знаменателе, дальше сами увидите

[sergei1961]

Ещё раз: нужно доказать по отдельности, что оба выражения $\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}}$ и $\frac{n+4}{\sqrt{n^2+3}+2}$ убывают, тогда их произведение тоже убывает. Первое очевидно, второе сразу доказывается производной. Вот и всё.

[Bulinator]

Dan B-Yallay в сообщении #479358 писал(а):

Не понял...

И не должны были. Я цитаты перепутал. Забудьте.

[freedom_of_heart]

sergei1961 в сообщении #479363 писал(а):

Ещё раз: нужно доказать по отдельности, что оба выражения $\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}}$ и $\frac{n+4}{\sqrt{n^2+3}+2}$ убывают, тогда их произведение тоже убывает. Первое очевидно, второе сразу доказывается производной. Вот и всё.

Спасибо, все понятно))

-- Ср авг 31, 2011 22:32:50 --

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n^m(1+\alpha_1n^{-1}+\alpha_2n^{-2}+...+\alpha_mn^{-m})}{n^k(1+\beta_1n^{-1}+\beta_2n^{-2}+...+\beta_kn^{-k})}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n^m(1+P_m)}{n^k(1+Q_k)}$$

$P_m \to 0$ на бесконечности

$Q_k \to 0$ на бесконечности

[Dan B-Yallay]

freedom_of_heart в сообщении #479366 писал(а):

$P_m \to 0$ на бесконечности
$Q_k \to 0$ на бесконечности

Ну и соответственно, требуется $k-m>1$ чтобы ряд сходился.

Собственно, вынесение наибольшей степени сработалo бы и во втором примере. Без возни с производными.

[freedom_of_heart]

Dan B-Yallay в сообщении #479390 писал(а):

freedom_of_heart в сообщении #479366 писал(а):

$P_m \to 0$ на бесконечности
$Q_k \to 0$ на бесконечности

Ну и соответственно, требуется $k-m>1$ чтобы ряд сходился.

Собственно, вынесение наибольшей степени сработалo бы и во втором примере.

$k-m>1$ Чтобы сходился условно? А абсолютно? Ведь для абсолютной сходимости недостаточно стремление общего члена к нулю...

[SpBTimes]

freedom_of_heart в сообщении #479391 писал(а):

Чтобы сходился условно? А абсолютно? Ведь для абсолютной сходимости недостаточно стремление общего члена к нулю...

Ни для какой сходимости не достаточно стремление общего члена к нулю. И ещё, вы собрались исследовать ряд с положительными членами на абсолютную и условную сх-ть?