Заряд в электромагнитном поле

[doun]

Добрый день! Столкнулся со следующим не пониманием. Есть у меня задача: заряд в электромагнитном поле. Задача двумерная потенциалы поля имеют вид $\vec{A}=0+A(x_1)\vec{e}_2$ и $\varphi=\varphi(x_1)$, $x_{1,2}$ - обобщенные координаты, $\vec{e}_{1,2}$ - единичные орты, поле стационарное.
1) Классический случай. Записываю функцию Гамильтона:

$H=\frac{\left(p_1^2+\left(p_2-\frac{q}{c}A(x_1)\right)^2\right)}{2m}+q\varphi(x_1)$

Далее записываю уравнения Гамильтона(выпишу только одно уравнение, из-за которого возник вопрос):

$\dot{P_2}=-\frac{\partial H}{\parial x_2}=0$

Из этого уравнения следует, что обобщенный импульс $P_2$ есть константа и следовательно искомый импульс равен $p_2(t)=\operatorname{const}+\frac{q}{c}A(x_1(t))$. Т. е. импульс частицы величина не постоянная.
2) Квантовый случай. Все то же самое заменяю импульсы операторами и получаю оператор Гамильтона. Считаю комутатор оператора импульса $\hat{p_2}$ и гамильтониана $\hat{H}$ и получаю ноль. Т. е. оператор компоненты импульса $p_2$ комутирует с гамильтонианом а значит (в силу того, что явно от времени ничто не зависит) компонента импульса $p_2$ сохраняется.

И вот мой вопрос: в классике сохраняется компонента обобщенного импульса, а в квантовом случае обычного импульса. Кто знает в чем тут дело. Я наверняка где то ошибаюсь но не могу найти ошибку.
Заранее спасибо.

[espe]

doun в сообщении #478583 писал(а):

Считаю комутатор оператора импульса $\hat{p}_2$ и гамильтониана и получаю ноль.

В квантовом случае, так же как и в классическом, уравнения движения записываются для обобщенных импульсов, т.е. надо считать $i\hbar\dot{\hat{P}}_2=[\hat{P}_2,\hat{H}]=0$.

[doun]

espe в сообщении #478839 писал(а):

doun в сообщении #478583 писал(а):

Считаю комутатор оператора импульса $\hat{p}_2$ и гамильтониана и получаю ноль.

В квантовом случае, так же как и в классическом, уравнения движения записываются для обобщенных импульсов, т.е. надо считать $i\hbar\dot{\hat{P}}_2=[\hat{P}_2,\hat{H}]=0$.

Вы комутатор то считали? Он не равен нулю для обощеного импульса, а равен:

$[\hat{H},\hat{P}_2]=-\frac{q\hbar}{2mc}\left(\frac{\partial^2A}{\partial x_1^2}+2\frac{\partial A}{\partial x_1}\frac{\partial }{\partial x_1}\right)$

[espe]

Оператор $\hat{P}_2$ не коммутирует только с $\hat{x}_2$: $[\hat{x}_2,\hat{P}_2]=i\hbar$. От $x_2$ гамильтониан не зависит, следовательно $[\hat{P}_2,\hat{H}]=0$, не так ли? Или Вы считали как-то по другому?

PS Для правильного выражения гамильтониана см. ЛЛ-2, формула (16,10). В нее входят обобщенные импульсы, но это на вычисление нашего коммутатора не влияет.

[doun]

espe в сообщении #479174 писал(а):

Оператор $\hat{P}_2$ не коммутирует только с $\hat{x}_2$: $[\hat{x}_2,\hat{P}_2]=i\hbar$. От $x_2$ гамильтониан не зависит, следовательно $[\hat{P}_2,\hat{H}]=0$, не так ли? Или Вы считали как-то по другому?

PS Для правильного выражения гамильтониана см. ЛЛ-2, формула (16,10). В нее входят обобщенные импульсы, но это на вычисление нашего коммутатора не влияет.

Все верно, но вот беда в гамильтониане есть еще производная по $x_1$, а в обобщенном импульсе сидит как раз функция от x1. Еще раз говорю Вы комутатор считали?

[espe]

doun в сообщении #479181 писал(а):

а в обобщенном импульсе сидит как раз функция от x1

Вы что-то совсем запутались. В обобщенном импульсе ничего не сидит. Есть операторы (пишу без крышек) $x_i$, $P_j$, в Вашем случае $i,j=1,2$. У них не нулевые коммутационные соотношения будут $[x_i,P_j]=i\hbar\delta_{ij}$. Если реализовать операторы в координатном представлении, то $P_2=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_2}$ и ни какой функции от $x_1$ в $P_2$ не сидит.

[doun]

По моему Вы что то путаете. Обобщенный импульс (см. "Теория поля"):

$\vec{P}=\vec{p}-\frac{q}{c}\vec{A}$

где $\vec{p}$ - обычный импульс. В квантовом случае оператор обобщеного импульса $\hat{P}_i=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x_i}-\frac{q}{c}A_i$

Посмотрите например Гайтлер "Квантовая теория излучения" или у того же Ландау Т. 3

[espe]

doun в сообщении #479189 писал(а):

В квантовом случае оператор обобщеного импульса $\hat{P}_i=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x_i}-\frac{q}{c}A_i$

Так реализовать операторы $\hat{P}_i$ нельзя. В этом случае не будут выполнятся $[\hat{P}_i,\hat{P}_j]=0$.

doun в сообщении #479189 писал(а):

Посмотрите например Гайтлер "Квантовая теория излучения" или у того же Ландау Т. 3

Поточнее ссылку пожалуйста. Желательно куда именно смотреть в ЛЛ-3, Гайтлера у меня нет.
У меня впечатление что Вы путаете обобщенные импульсы и "обычные".

[Bulinator]

doun в сообщении #478583 писал(а):

Далее записываю уравнения Гамильтона(выпишу только одно уравнение, из-за которого возник вопрос):

$\dot{P_2}=-\frac{\partial H}{\parial x_2}=0$

Уравнения Гамильтона имеют канонический вид только в канонических переменных. У Вас скобки Пуассона имеют несколько отличный вид:
$\{P_1,P_2\}=...\text{считайте}$, $\{P_i,x_j\}=\delta_{ij}$.
Если пользуетесь обобщенными импульсами то уравнения надо записать в следующем видем:

$\dot{f}=\{H,f\}$,
где $f=(p,q)$ фазовые переменные.

[doun]

Bulinator спасибо! Ответ по существу! Про этот момент я как то забыл (при чем как оказывается довольно сильно ).