Добрый день! Столкнулся со следующим не пониманием. Есть у меня задача: заряд в электромагнитном поле. Задача двумерная потенциалы поля имеют вид
![$\vec{A}=0+A(x_1)\vec{e}_2$ $\vec{A}=0+A(x_1)\vec{e}_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/f/59feec5044de59df67607ff028dc7b1f82.png)
и
![$\varphi=\varphi(x_1)$ $\varphi=\varphi(x_1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/9/5799f793df80a6e6e09d7f6f908e45f382.png)
,
![$x_{1,2}$ $x_{1,2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/6/f66c441397c6403e725706224d811def82.png)
- обобщенные координаты,
![$\vec{e}_{1,2}$ $\vec{e}_{1,2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/5/3b575a7bd2bbcf91f166e6ebe9f0234682.png)
- единичные орты, поле стационарное.
1) Классический случай. Записываю функцию Гамильтона:
![$H=\frac{\left(p_1^2+\left(p_2-\frac{q}{c}A(x_1)\right)^2\right)}{2m}+q\varphi(x_1)$ $H=\frac{\left(p_1^2+\left(p_2-\frac{q}{c}A(x_1)\right)^2\right)}{2m}+q\varphi(x_1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/d/ffddc77babecfc275090fa399078ffce82.png)
Далее записываю уравнения Гамильтона(выпишу только одно уравнение, из-за которого возник вопрос):
![$\dot{P_2}=-\frac{\partial H}{\parial x_2}=0$ $\dot{P_2}=-\frac{\partial H}{\parial x_2}=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/4/b0473d264d11f303dcd71d2646ef75c782.png)
Из этого уравнения следует, что обобщенный импульс
![$P_2$ $P_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/a/bda33f0358442dd75d7487fa0ba0a27982.png)
есть константа и следовательно искомый импульс равен
![$p_2(t)=\operatorname{const}+\frac{q}{c}A(x_1(t))$ $p_2(t)=\operatorname{const}+\frac{q}{c}A(x_1(t))$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/9/4e95f30867484f5998fefc63de4188b182.png)
. Т. е. импульс частицы величина не постоянная.
2) Квантовый случай. Все то же самое заменяю импульсы операторами и получаю оператор Гамильтона. Считаю комутатор оператора импульса
![$\hat{p_2}$ $\hat{p_2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/3/5d3d6762b53328cf4b120317edf6d96782.png)
и гамильтониана
![$\hat{H}$ $\hat{H}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/f/a3f1ae33cad353141a4d09579d9b15c882.png)
и получаю ноль. Т. е. оператор компоненты импульса
![$p_2$ $p_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/6/0b6c661a59575c2a0dec00e00dacfe2982.png)
комутирует с гамильтонианом а значит (в силу того, что явно от времени ничто не зависит) компонента импульса
![$p_2$ $p_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/6/0b6c661a59575c2a0dec00e00dacfe2982.png)
сохраняется.
И вот мой вопрос: в классике сохраняется компонента обобщенного импульса, а в квантовом случае обычного импульса. Кто знает в чем тут дело. Я наверняка где то ошибаюсь но не могу найти ошибку.
Заранее спасибо.