выразить ряд через тета-функции Якоби

[sergei1961]

Умом понимаю, что такой ряд

$$\sum_{k=0}^{\infty}q^{k^2} z^k, 0<q<1$$

должен выражаться через тета-функции Якоби, но выразить не могу. Прошу помощи.

[AKM]

Пожалуйста, исправьте написание формул в соответствии с Правилами.
Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин. Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

[Vince Diesel]

Используя интегралы, можно. Для третьей тета-функции $\vartheta _3(x,q)=2 \sum _{n=1}^{\infty } q^{n^2} \cos (2 n u)+1$ через

$$ \tilde \vartheta _3(u,q)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\tg(v/2)\vartheta _3(u-v,q)\,dv =2 \sum _{n=1}^{\infty } q^{n^2} \sin (2 n u) $$

ee преобразование Гильберта. Тогда функция

$$ f(u)=\vartheta _3(u,q)+i\tilde \vartheta _3(u,q)=2 \sum _{n=1}^{\infty } q^{n^2} e^{2i n u}+1 $$

дает уже почти то, что нужно. Полагая $z=e^{2iu}$, получим

$$ \sum_{n=0}^{\infty}q^{n^2} z^n=\frac12(f(u)+1)=\frac12\left(\vartheta _3\Big(\frac i2\log z,q\Big)-i\tilde \vartheta_3\Big(\frac i2\log z,q\Big)+1\right). $$

[sergei1961]

Спасибо, здорово вышло, признателен. А преобразование Гильберта (ряд из синусов) само можно выразить через стандартные функции?
И в последней формуле-плюс вместо минуса?
Да и наверное пр. Гильберта тоже не нужно: к ряду из косинусов добавить ряд из синусов, умноженный на мнимую единицу, и по формуле Эйлера...

[Vince Diesel]

sergei1961 в сообщении #477734 писал(а):

И в последней формуле-плюс вместо минуса?

Так как $u=-\frac i2\ln z$, $\theta_3$ четна, а $\tilde \theta_3$ нечетна, в конце минус.
Как ряд с синусами выразить через $\theta$ без преобразования Гильберта, не знаю.