Триг. неравенство с параметром

[Dosaev]

Найти все значения a, для которых неравенство
$\sin^5x+\cos^5x-a(\sin x+\cos x) \ge \frac{a^2-11}{2}(\sin x+\cos x)\sin x \cos x$
выполняется при всех $x \in \left[0;\frac{\pi}{4}\right].$

Натолкните на мысль хотя бы, совсем ничего поделать не могу! Эти пятые степени приводят в тупик!(

[ИСН]

Начнём с ерунды: эта пугающая Вас штука очевидным образом делится на $(\sin x+\cos x)$.

[Dosaev]

И как это она делится? Во первых мы не уверены в знакопостоянстве \sin x+\cos x, а во-вторых что это даст? Пятые степени не исчезают!

[ИСН]

Делится примерно так же, как $a^2-b^2$ делится на $a-b$. Осознайте это. Потом мы сможем обсудить, что же там происходит со степенями.

[Dosaev]

А как быть в $\sin x+\cos x <>0?$ 2 случая?

[Whitaker]

На данном отрезке их сумма всегда положительна. Так что смело делите на $\sin x+\cos x$

[Dosaev]

Хе, точно ведь! Ну ладно поделил:
$\frac{\sin^5x+\cos^5x}{\sin x+\cos x}-a \ge \frac{a^2-11}{2}\sin x \cos x.$
Я понимаю что $a^2-b^2$ делится на $a-b$, потому что разность квадратов раскладывается на множители и одна скобка сокращается. Ну тут как быть? Нет ведь такой формулы $a^5+b^5=$...

[Whitaker]

Посмотрите в Википедии. Подумайте.

[ИСН]

Dosaev в сообщении #476109 писал(а):

Нет ведь такой формулы $a^5+b^5=$...

Так ищите. Должна быть.

[Dosaev]

Whitaker в сообщении #476110 писал(а):

Посмотрите в Википедии. Подумайте.

Спасибо! Вот ведь не додумался до википедии! пока получается! если будут вопросы напишу!)

-- Чт авг 18, 2011 19:50:32 --

Пришел к следующему неравенству:
$\sin^2 2x+(a^2-9)\sin2x+4a-4 \le 0.$
Далее:
$\sin 2x=t \in [0;1].$
$t^2+(a^2-9)t+4a-4 \le 0.$
Для выполнения требования задачи необходимо и достаточно:
$\left\{ \begin{array}{rcl} D\ge0\\ 0<x_0<1\\ f(0) \ge 0\\ f(1) \ge 0. \end{array} \right.$
Ну вот у меня возникают сложности в решении неравенства с дискриминантом.(

[ИСН]

Давайте Вы будете полностью говорить, что происходит. А то я, положим, догадываюсь, что такое f и D (хотя не понимаю, с чего $D\ge0$), но что такое $x_0$ - для меня загадка.

[Dosaev]

$D \ge 0$ - это чтобы корни существовали! Иначе парабола ветви вверх и всегда больше 0, а у нас неравенство меньше 0, вот. А $x_0$ это вершина параболы: $x_0=-\frac{b}{2a}.$

[ИСН]

А, ну да, торможу. Но теперь зачем нам нужно, чтобы вершина была на (0,1)?

[Dosaev]

Это чтобы корни уравнения находились между 0 и 1. $t \in [0;1].$

[Joker_vD]

А, так это вы $t_0$ на самом деле имеете ввиду. Учтите, обозначать частное значение $t$ как $x_0$ — дурной тон.

Но давайте вернемся к неравенству $t^2 + (a^2-9)t + 4a - 4 \leqslant 0$, которое должно выполняться для $0 \leqslant t \leqslant 1$. Для этого необходимо и достаточно, чтобы это неравенство выполнялось для $t=0$, $t=1$. Сообразите, почему?