Теорема Пифагора и закон Паскаля

[mihiv]

Момент силы:$L=[rF]$.Начало координат поместим в точку $A$,ось $z$ перпендикулярно основанию призмы,ось $x$ направим по катету $AC$(катет $b$).Угол между силой давления и радиус-вектором точки приложения силы равен $90^{\circ }$,поэтому проекция момента силы на ось $z$ равна:

$$\int \limits _0^bphxdx=ph\dfrac{b^2}2.$$

Но все же ,видимо,применение векторов подразумевает неявное использование теоремы Пифагора.

[BISHA]

mihiv в сообщении #478704 писал(а):

применение векторов подразумевает неявное использование теоремы Пифагора.

В общем случае - да, но здесь - нет. Момента сил на стороны нет, давление на одной глубине одинаково по всем направлениям. Но если составить три уравнения для трех осей по углам, считая, что внутри нет "жидкости".
У меня так получается.

[myhand]

mihiv в сообщении #478704 писал(а):

Угол между силой давления и радиус-вектором точки приложения силы равен $90^{\circ }$

Ну а для другого катета, относительно той же оси? :)

BISHA в сообщении #478713 писал(а):

В общем случае - да, но здесь - нет.

Началось "получение"... Потерпите - mihiv замечательно сам найдет свою ошибку.

BISHA в сообщении #478713 писал(а):

Момента сил на стороны нет

Понятие "момента силы" - никакие "стороны" не включает. Ось (или точку), относительно которой считается момент - да. И моменты сил, относительно разных осей, параллельных высоте призмы - очень даже есть. Только их сумма - нуль.

Вот только промежуточные вычисления нужно сделать, а не только конечный результат показать. Там, увы - появятся "синусы"...

[BISHA]

myhand в сообщении #478725 писал(а):

Там, увы - появятся "синусы"...

Призма прямая, её основание на одной глубине. Составляем два уравнения моментов сил для осей проходящих через концы гипотенузы (по ребрам призмы). Если их сложить, то получается выражение как при доказательстве теоремы Пифагора, но когда еще не знали синусов и косинусов.

[myhand]

BISHA в сообщении #478874 писал(а):

Призма прямая, её основание на одной глубине.

И что? Думаете, только Вы способны прочитать mihiv? Уверяю, он пишет куда как понятно, особенно в сравнении с кашей в голове у некоторых...

BISHA в сообщении #478874 писал(а):

Составляем два уравнения моментов сил для осей проходящих через концы гипотенузы (по ребрам призмы).

А почему два? Вполне достаточно одного - посчитайте моменты сил относительно произвольной оси.

BISHA в сообщении #478874 писал(а):

Если их сложить, то получается

Ну вот и посчитайте, покажите что получается. Не конечный результат (он у mihiv - правильный), а то что промежуточные вычисления "синусов-косинусов" не содержат.

[BISHA]

myhand в сообщении #478882 писал(а):

то что промежуточные вычисления "синусов-косинусов" не содержат.

$\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2}+\frac{ab}{2}=0$
$\frac{c^2}{2}-\frac{a^2}{2}-\frac{ab}{2}=0 (-1)$
Второе уравнение сложим с первым. В уравнениях за единицу взято толщина слоя и давление, учитываем и правило сложения моментов сил.

[myhand]

Вижу бездоказательные формулы - вычислений не вижу. Вы настолько тупы, что не понимаете что Вас попросили привести?

Я правильно понял, что Вы действительно собираетесь складывать моменты сил, расчитанные для различных осей? А почему не вычесть или какое-нибудь дробно-линейное преобразование сделать? В общем случае - смысл тот же.

Решать задачу пока не буду, т.к. жду ответа mihiv - почти наверняка он самостоятельно найдет у себя "синусы", благо в них его ткнули носом. Не найдет - разберу подробнее. А на Вас больше времени тратить жаль.

[Kitozavr]

Можно провести доказательство в предположении, что теорема Пифагора верна. Тогда, получив согласующийся с экспериментом результат, можно заключить что наше доказательство верно, а, следовательно, верна и теорема Пифагора.

[mihiv]

Буду до последнего пытаться обойтись без "синусов" :проведем ось $y$ перпендикулярно оси $x$ в плоскости треугольника $ABC$,ищем момент сил,действующих на катет $a$.Сила,действующая на элемент грани $a$ шириной $dy$ создает момент $d\vec L=[\vec r ,d\vec F],\vec r =b\vec i+y\vec j,d\vec F=-phdy\vec i,(\vec i,\vec j\text {единичные векторы по осям координат)}$,поэтому $d\vec L=[y\vec j,-phdy\vec i]$Проекция полного момента сил,действующих на катет $a$равна:$\int \limits _0^aphydy=ph\dfrac {a^2}2.$

[BISHA]

myhand в сообщении #478914 писал(а):

Вы действительно собираетесь складывать моменты сил, расчитанные для различных осей?

Это математическая запись. Уравнения составлены верно. Чисто формально их можно и сложить.

myhand в сообщении #478882 писал(а):

особенно в сравнении с кашей в голове у некоторых...

myhand в сообщении #478914 писал(а):

А на Вас больше времени тратить жаль.

Всё дружите против меня?
mihiv

У Вас отличная идея доказательства теоремы Пифагора.

[myhand]

Kitozavr в сообщении #478922 писал(а):

Можно провести доказательство в предположении, что теорема Пифагора верна. Тогда, получив согласующийся с экспериментом результат, можно заключить что наше доказательство верно, а, следовательно, верна и теорема Пифагора.

Бедная логика... Доказательство чего? Если закона Паскаля - то он из одной теоремы Пифагора, увы, не следует.

mihiv в сообщении #478927 писал(а):

Буду до последнего пытаться обойтись без "синусов"

А напрасно.

Итак, считаем момент силы относительно точки $A$ для катета $a$. Модуль силы $d\vec F$ действующей на элемент катета длиной $dx$, находящийся на расстоянии $x$ от точки $C$ есть $|d \vec F| = ph dx$. Чтобы получить модуль момент силы $|d \vec M|$, относительно точки $A$ - в соответствии с определением векторного произведения умножим модуль радиус вектора $\vec \rho$ из точки $A$ в направлении нашего элемента на $|d\vec F|$ и на синус угла $\varphi$ ($\sin \varphi = x /\rho$) между радиус-вектором и приложенной силой. Получаем $|d\vec M| = ph x dx$, и, после интегрирования - Ваш результат. Это вычисление не зависит от выбора системы координат, в отличие от Вашего (т.к. длины и углы от системы координат не зависят).

В вашем результате - тоже есть "синусы". Они "сидят" в разложении вектора по ортогональным единичным векторам $\vec i$ и $\vec j$. Вам полезно подумать, а как будет выглядеть векторное произведение в косоугольной системе координат.

BISHA в сообщении #478931 писал(а):

Это математическая запись. Уравнения составлены верно. Чисто формально их можно и сложить.

Уравнения чего? Что они обозначают? Почему их сложение - имеет смысл для физики?

"Чисто формально" - можно сложить что угодно с чем угодно. Хоть метры с литрами. Почему Вы называете такие упражнения на сложение доказательством?

[BISHA]

myhand в сообщении #478938 писал(а):

Почему их сложение - имеет смысл для физики?

Для физики нет. А в математике можно и вычесть, записанные выражения имеют одинаковую размерность.

myhand в сообщении #478938 писал(а):

Получаем $|d\vec M| = ph x dx$, и, после интегрирования - Ваш результат.

Но это модуль. Сложите правильно моменты с учетом их направления.

[whiterussian]

Можно подойти к решению задачи совсем тривиально.

Делаем сообщяющиеся сосуды в форме пифагоровых штанов. Заливаем воду.

Из какого-нибудь материала с постоянной толщиной вырезаем крышки. Кладем крышки на поверхность воды и наблюдаем, что они на одной высоте.

[Durmstrang]

нужно перебрать бесконечное количество вариантов, так что не катит

[whiterussian]

Кстати, однородный материал не нужен. Достаточно показать, что крышки будут выровненны только тогда, когда массы со стороны катетов в сумме дают массы со стороны гипотенузы