Определитель матрицы с нулевой диагональю, кол-во слагаемых

[xmaister]

Пусть $A=(a_{ij})$- матрица $n\times n$, $a_{ij}=1, i\neq j$, $a_{ii}=0$. Доказать, что число нулевых членов определителя $n!\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k}$

(Оффтоп)

По определнию $\det A=\sum\limits_{\alpha_1 ,\ldots ,\alpha_n}(-1)^{N(\alpha_1 ,\ldots ,\alpha_n)}a_{\alpha_11}\ldots a_{\alpha_nn}$ Всего $n!$ членов. Т.е. член определителся будет нулевым, если хотябы одно $\alpha_k=k, k=1,2,\ldots ,n. А вот как число нулевых сосчитать? Подскажите.

[ИСН]

Иными словами, это задача о таких перестановках, при которых ни один юнит не остаётся на своём месте. А это уже боян.

-- Чт, 2011-08-11, 17:01 --

Вот, собсно: post443462.html

[xmaister]

ИСН, спасибо! Попробую разобраться.