Пример неконечного покрытия отрезка [0,1] отрезками

[ean]

Помогите привести пример, когда из системы отрезков, покрывающих отрезок, нельхя выделить конечную подсистему, покрывающую этот отрезок.
Я полагаю в данном случае нам в помощь аксиома полноты, но не понимаю как построить такое бесконечное покрытие, из котрого ничего не выкинешь.

[ИСН]

$[0,{1\over2}]$
$[{1\over2},{3\over4}]$
$[{3\over4},{7\over8}]$
...

[ean]

ИСН в сообщении #474373 писал(а):

$[0,{1\over2}]$
$[{1\over2},{3\over4}]$
$[{3\over4},{7\over8}]$
...

Да, я думал об этом, но для этого нужно показать, что такая последовательность отрезков покрывает весь отрезок $[0,1]$, а этого я пока показать не могу (предполагается использовать только аксиоматику действительных чисел и лемму Бореля-Лебега)

[Someone]

Конкретно эта последовательность отрезков не покрывает точку $1$. Её нужно немножко подправить, и тогда всё будет как надо.

[ean]

Просто добавив туда единицу?

[AD]

Да, но единица - это не отрезок. Так что надо чуть аккуратнее.

[TOTAL]

Что такое отрезок?

[Someone]

В топологии - это множество $[a,b]=\{x\in\mathbb R:a\leqslant x\leqslant b\}$, где $a<b$. Одноточечное множество - не отрезок.

[TOTAL]

$[1/3+1/n; 2/3-1/n]$ тогда вот такими можно покрывать (плюс два отрезка с краёв)

[PAV]

Только если речь идет о неполноте множества рациональных чисел, то может быть здесь в тему имелась в виду другая задачка - что из системы открытых интервалов, покрывающей рациональные точки отрезка, не выделить конечного подпокрытия?

[ean]

PAV в сообщении #474403 писал(а):

Только если речь идет о неполноте множества рациональных чисел, то может быть здесь в тему имелась в виду другая задачка - что из системы открытых интервалов, покрывающей рациональные точки отрезка, не выделить конечного подпокрытия?

Нет, речь именно о вещественных. Нужно продемонстрировать что могут быть случаи, когда из системы отрезков, покрывающих отрезок $I$, нельзя выделить конечную подсистему, покрывающую этот же отрезок.

[Someone]

Ну, Вам уже много подсказали по этой задаче. Почти всё решение. Ждём Вашего хода.

[ewert]

Что-то все подсказки какие-то странные. Надо так. Отрезок $[\frac12;1]$ принять за один из элементов покрытия исходного отрезка $[0;1]$, а в качестве покрытия оставшейся левой половины $[0;\frac12)$ взять последовательность отрезков, левые концы которых зафиксированы в нуле, а правые приблжаются к половинке слева.

[ИСН]

ewert в сообщении #474457 писал(а):

левые концы которых зафиксированы в нуле

не в нуле, а в правых концах предыдущих, наверное. Иначе последний накроет все остальные.

-- Вт, 2011-08-09, 15:23 --

А, понял, всё ОК: последнего нет.

[ean]

Теперь понял, спасибо