Преподавание дифф.уравнений

[eugrita]

Трудно на эту тему писать.Уровень очень разный от быстрого пробега по классам ОДУ для специальностей далеких от математики, до курсов в несколько семестров из ОДУ, затем УРЧП для физиков...
Я собственно обратил внимание, что в классических книжках по которым я еще учился, типа И.Г.Петровский маловато уделялось геометрической теории ОДУ и автономных ОДУ. Разумеется понятие "поле направлений" там определялось хотя бы.
После знакомства с книгой Арнольда "Геометрические методы в теории ОДУ" я вслед за ним прихожу к выводу, а почему собственно читать только аналитические приемы решения? А если взять за основу поле направлений и преобразования (диффеоморфизмы) как он их называет?
Может так нагляднее и понятнее будет? Разумеется приемы решений типа метод вариации постоянных, метод матричной экспоненты все равно давать надо -никуда не деться

[Oleg Zubelevich]

В теории диф. уравнений есть геометрические задачи, которые решаются геометрическими методами и аналитические задачи, которые решаются аналитическими методами. Противопоставлять их глупо. Теорему существования и единственности, кстати, Вы никак геометрически не получите это чистый анализ.
Предпочтение тем или иным методам в учебнике зависит от вкусов автора. На русском языке книжек которые отражали бы современное состояние ДУ нет. Это касается и ОДУ и УРЧП.

[Robomaster90]

Oleg Zubelevich в сообщении #474364 писал(а):

В теории диф. уравнений есть геометрические задачи, которые решаются геометрическими методами и аналитические задачи, которые решаются аналитическими методами. Противопоставлять их глупо. Теорему существования и единственности, кстати, Вы никак геометрически не получите это чистый анализ.
Предпочтение тем или иным методам в учебнике зависит от вкусов автора. На русском языке книжек которые отражали бы современное состояние ДУ нет. Это касается и ОДУ и УРЧП.

а что за книги вы посоветуете,которые отражали бы современное состояние ДУ на англ.языке?

[Oleg Zubelevich]

ОДУ я как-то не интересовался, а по УРЧП мне очень нравится трехтомник M Taylor Partial Dif. Eq.

[AD]

Перенёс в "преподавание".

[eugrita]

а вот мой однокурсник Андрей Полянин написал неск книг по ДУЧП - 1 из них -с правочник. Как они по вашему?
Раз вы все наши книги отрицаете - тем самым отрицаете и Арнольда и Филлипова??? и лекционные курсы физфака МГУ Моденова и Нефедова???

Хотелось послушать вас. Как надо строить программы преподавания дифф уравн. Какие вопросы включать в курс ОДУ и в случае необходимости ДУРЧП.
( методы для нелинейных с малым параметром- осреднения, Крылова-Боголюбова даже не в счет)

[ewert]

eugrita в сообщении #474518 писал(а):

Как надо строить программы преподавания дифф уравн.

Так ведь смотря кому. Рядовым инженерам -- продвинутые курсы ДУ точно ни к чему. Они их точно не воспримут. И в то же время базовые знания, и умение решать наиболее типичные уравнения -- им необходимы.

Далее идёт следующий уровень аппроксимации. Он должны понимать, что любое наперёд заданное дифуравнение решить, грубо говоря, невозможно. Лишь численно. И потому нужны численные методы: и конкретно для дифуров, и вообще (поскольку конкретно дифуров без ваще не бывает).

Но, к сожалению, численные методы на протяжении уже десятилетий редуцируются. А оптимизация учебного процесса, однако. В ходе неё много чего редуцируется.

[Oleg Zubelevich]

eugrita в сообщении #474518 писал(а):

а вот мой однокурсник Андрей Полянин написал неск книг по ДУЧП - 1 из них -с правочник. Как они по вашему?

я посмотрел книгу Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. Только она и нашлась в интернете.
ИМХО: Интересная книжка, там изложены важные вещи, которые следует изучать. Но 99% статей по УРЧП это обобщенные функции, обобщенные решения и пространства Соболева. А у Полянина этого нет вообще.

-- Вт авг 09, 2011 20:55:17 --

eugrita в сообщении #474518 писал(а):

Раз вы все наши книги отрицаете - тем самым отрицаете и Арнольда и Филлипова??? и лекционные курсы физфака МГУ Моденова и Нефедова???

Еще раз, я Вам привел пример учебника, который считаю образцовым. Англоязычных книжек таких много. Но толстых книжек, в которых содержались бы центральные результаты разных разделов, а не только тех, что интересны автору, начиная от элементрных вещей и до журнальных статей, скажем 90-х годов на русском языке нет. Книга Арнольда не исключение. Вроде бы это очевидно.

[eugrita]

А вот еще замечание по поводу геометрических методов решения (с чего все началось).
Я согласен, что для инженеров они не особенно к чему.Мне на протяжении жизни
приходилось решать дифуры, писал программы для решения численным методом.
А вот геометрическими -нет. Потому считаю это "вещью в себе" - в теории есть а на практике? Можно показать как пример на лекции - не более того.
Аналогично цитируемый в любом курсе - метод изоклин. - что-то не видел.
Аналогично Арнольдовские квазиоднородные уравнения - красиво, увлекательно.
А где примеры из практики?
И теорема о выпрямлении поля направлений - пример чистой математики.Включена в ряд программ. А где применения.
---------------------------------------------------------------------
утилитарно для инженеров - метод вариации постоянных для СЛДУ
+ числ метод Рунге-Кутта 4 порядка для з-чи Коши . Ну может еще метод прогонки для 2 краевой задачи

[мат-ламер]

eugrita в сообщении #474555 писал(а):

И теорема о выпрямлении поля направлений - пример чистой математики.Включена в ряд программ. А где применения.

А Вы попробуйте вывести из этой теоремы теорему о существовании и единственности решения ДУ.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #474542 писал(а):

я посмотрел книгу Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. Только она и нашлась в интернете.

http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.c ... &network=1
Книг не меньше десяти.

[eugrita]

Вот еще такой связанный вопрос. Дали тему реферата -графические образы интегральных автономных динамических систем.
Что это за зверь такой - интегральная динамическая система?
В инете не нашел. Что ,система,описываемая не системой дифуров, а интегральным оператором?
Насколько знаком с литературой,геометрическая теория, аттракторы и пр. разрабатывались все таки для описаний систем дифуров (более всего для систем 2-го порядка)

[Vince Diesel]

Может, интегрируемых?

[eugrita]

Нет. эту тему мне дали как заказ. Ошибки нет. Могу даже переслать написанный мною реферат на эту тему но только на е-мэйл (30 стр). Но даже и после написания исходный вопрос остается.
Классическая геометрическая теория+теория бифуркаций для СДУ!

[eugrita]

Фазовые портреты
-----------------------------------
Вот миссия достойная поэта –я всем рисую фазовые портреты
И поведенье ваше коли описать дифуром –
То будет сей портрет весьма недурен

Вот седловая точка – здесь, однако,
Вы терпите фиаско из-за знака
И проступает в темноте аттрактор –
недостижимый идеала фактор

Забыв про долг, стремитесь вдаль неудержимо
Хоть цель сия навряд ли достижима
Нарисовав судьбу, скажу, как говорят поэты –
Советую беречь свои портрэты!