Интерполяция

[vlad_light]

Пускай задано преобразование:
\omega _n$\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)=$\left( \begin{array}{cc} a_n & 0 \\ c_n & d_n \end{array} \right)$\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)+$\left( \begin{array}{cc} e_n \\ f_n \end{array} \right)$
Далее рассмотрим оператор $W=\bigcup\limits_{n=1}^N\omega _n$.
Вопрос: может ли оператор $W$ бы сжимающим при каком-то $d_i>1$?

(Оффтоп)

При всех $d_n<1$ степень сжатия оператора $W$ будет равна$d=\max\limits_{n=\overline{1,N}} \{d_n\}$

Если да - приведите пример или помогите с его построением.
Спасибо!

[Dan B-Yallay]

Рассмотрите простейший случай:$n=2, \quad a_i=c_i=e_i=f_i=0, \qquad d_1=2, d_2=-1.5$

$$w_1\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2 y \end{pmatrix} \hspace{30pt} w_2\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & -1.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ -1.5y \end{pmatrix}$$

$$W\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0.5y \end{pmatrix}$$

По-моему вполне себе сжимающее отображение. (При условии, что я правильно понял обьединение отображений.)

[Azog]

Что такое объединение операторов лично для меня загадка. Опять же отображение откуда куда? Плоскость в себя, чтоли? Или может вы абстрактные метрические пространства изучаете?

[vlad_light]

Цитата:

Опять же отображение откуда куда?

Думал не уточнять Да, плоскость в себя (точнее компакт в компакт).
Объединением операторов я обозначил объединение образов этих операторов.
$w_1: x\mapsto 0, y\mapsto 2y; w_2: x\mapsto 0, y\mapsto -1.5y$
Т.е. первое преобразование сжимает компакт в отрезок, который увеличивается в 2 раза при итерации. 2-ое преобразование сжимает компакт в отрезок, переворачивает его симметрично относительно оси OX и увеличивает в 1.5 раз при итерации. Объединением этих преобразований будут 2 отрезка на оси OY, которые начиная с определённой итерации склеются в один и атрактором оператора объединения будет вся ось OY, которая является неограниченной, следовательно некомпактной. Очевидно, что данное отображение не будет сжимающим.

(Оффтоп)

Моя задача состоит в следующем:
задан набор $N$ точек из $\mathbb R^2$ и функция(для начала из $C([a,b])$), проходящая через эти точки. По точкам я могу построить $N-1$ преобразование $w_n$ таких, что аттрактором объединения этих преобразований будет некоторая непрерывная интерполирующая функция. Далее я оцениваю, насколько аттрактор отличается от начальной функции и для уменьшения величины наилучшего приближения я регулирую параметр $d_n$ в пределах (-1,1). Так вот могу ли я вылазить за эти пределы? Это что-то типа теоремы Банаха о сжимающих отображениях: придумать пример, в котором отображение $f$ будет сжимающим при $|\theta |\geq 1 : d(f(x),f(y))\leq \theta d(x,y)$

[Azog]

vlad_light в сообщении #473039 писал(а):

Цитата:

Опять же отображение откуда куда?

Думал не уточнять Да, плоскость в себя (точнее компакт в компакт).
Объединением операторов я обозначил объединение образов этих операторов.
$w_1: x\mapsto 0, y\mapsto 2y; w_2: x\mapsto 0, y\mapsto -1.5y$
Т.е. первое преобразование сжимает компакт в отрезок, который увеличивается в 2 раза при итерации. 2-ое преобразование сжимает компакт в отрезок, переворачивает его симметрично относительно оси OX и увеличивает в 1.5 раз при итерации. Объединением этих преобразований будут 2 отрезка на оси OY, которые начиная с определённой итерации склеются в один и атрактором оператора объединения будет вся ось OY, которая является неограниченной, следовательно некомпактной. Очевидно, что данное отображение не будет сжимающим.

Я правильно понимаю, что при n>1 образом точки из плоскости будет кортеж из n точек? Если да, то видимо корректно говорить об отображение в пространство $R^{2n}$, а не в плоскость.
[UPD]
Опять же, Вы говорите "компакт". Что за компакт? Отрезок подойдет? Если да, то считайте, что $c_n=0, a_n=0.1$, и сами подберите такой отрезок, чтобы при Вашем преобразовании $d_i$ ни на что не влияли (при их изменении отображение оставалось бы таким же). Пример будет очевидным.

[vlad_light]

Цитата:

Я правильно понимаю, что при n>1 образом точки из плоскости будет кортеж из n точек?

Нет, неправильно. Там не декартово произведение образов, а объединение. Или Вы не это имели ввиду?

[Azog]

vlad_light в сообщении #473041 писал(а):

Цитата:

Я правильно понимаю, что при n>1 образом точки из плоскости будет кортеж из n точек?

Нет, неправильно. Там не декартово произведение образов, а объединение. Или Вы не это имели ввиду?

В упомянутом в начале темы конкретном отображении точка (1;1) куда перейдет?

[vlad_light]

Куда угодно. Я написал общий случай преобразования. Если же мы хотим аппроксимировать эту точку аттрактором, то нам понадобится лишь одно преобразование $w_1: x\mapsto 1, y\mapsto 1$, т.е. $a_1=c_1=d_1=0, e_1=f_1=1$, которое будет сжимающим и аттрактором этого отображения будет точка (1,1).
В общем случае эта точка перейдёт в точку(при N=1) либо в конечное объединение точек(при N>1).
Пока всё понятно?

Цитата:

Что за компакт? Отрезок подойдет?

Любой компакт на плоскости. Да, подойдёт.

Цитата:

Если да, то считайте, что$c_n=0, a_n=0.1$, и сами подберите такой отрезок.

Очевидно, что Ваше отображение не будет сжимающим. И этот пример искуственный и неинтересный.

(Оффтоп)

точно также можно было предложить взять точку (0,0) (которая компакт) и любые коэффициенты.

[Dan B-Yallay]

vlad_light в сообщении #473039 писал(а):

Объединением операторов я обозначил объединение образов этих операторов.
Т.е. первое преобразование сжимает компакт в отрезок, который увеличивается в 2 раза при итерации. 2-ое преобразование сжимает компакт в отрезок, переворачивает его симметрично относительно оси OX и увеличивает в 1.5 раз при итерации. Объединением этих преобразований будут 2 отрезка на оси OY, которые начиная с определённой итерации склеются в один и атрактором оператора объединения будет вся ось OY, которая является неограниченной, следовательно некомпактной. Очевидно, что данное отображение не будет сжимающим.

Складывать отрезки - это полезное дело. Но причем здесь они? Cтандатное определение сжимающего отображения таково:
Пусть $(X,\rho)$ -метрическое пространство. Оператор $A:X \to X $ называется сжимающим, если существует такое число α < 1, что для любых двух точек $x,y \in X$ выполняется неравенство

$${\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha{\cdot}\rho(x,y)}.$$

Проверяйте.

[Azog]

По моему вместо определения отображения вы пишите что-то похожее на чепуху, либо я чего-то в упор не понимаю. Особенно я не понимаю, откуда у Вас тут аттракторы выплыли. Однако, при n=1, Ваша задача решается легко. Проверьте, что с точностью до выбора нового базиса, можно считать $c_n=e_n=f_n=0$, и распишите определение сжимающего отображения.

[vlad_light]

Дело в том, что я неправильно поставил вопрос
Правильно будет так: может ли данный оператор иметь неподвижную точку при $d_i\geq 1$?

Цитата:

По моему вместо определения отображения вы пишите что-то похожее на чепуху, либо я чего-то в упор не понимаю.

Покажите, пожалуйста, где я выписал определение отображения. Скорее всего Вы чего-то не понимаете.

Цитата:

Особенно я не понимаю, откуда у Вас тут аттракторы выплыли.

Из теоремы Банаха о неподвижной точке.

Цитата:

Проверьте, что с точностью до выбора нового базиса, можно считать $c_n=e_n=f_n=0$, и распишите определение сжимающего отображения.

Определения за меня выписали, спасибо Dan B-Yallay. Коэффициенты $e_n,f_n$ можно не трогать: они ни на что не влияют. Пускай проверил, что дальше? Также пускай $n\geq 1$, хотя и 1 подходит.

[Dan B-Yallay]

vlad_light в сообщении #473451 писал(а):

Цитата:

Особенно я не понимаю, откуда у Вас тут аттракторы выплыли.

Из теоремы Банаха о неподвижной точке.

Вообще-то Banach Contraction Principle.

Цитата:

Пускай проверил, что дальше? Также пускай $n\geq 1$, хотя и 1 подходит.

Не знаю чего и как Вы проверяли. Вот проверка моего примера:

$$u_1=(x_1,y_1), \ u_2=(x_2,y_2), \ u_1,u_2 \in \mathbb R^2 \hspace{20pt} \rho(u_1,u_2)= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_1)^2}$$

$$W(u_1)=\Big(0,\dfrac {y_1}2\Big), \ W(u_2)=\Big(0, \dfrac{y_2}2\Big)$$

$$\rho(W(u_1), W(u_2))=\sqrt{(0-0)^2+\Big(\frac 1 2 (y_1-y_2)\Big)^2} = \dfrac 1 2 \sqrt{(y_1-y_2)^2}< \rho(u_1,u_2),$$

[vlad_light]

Спасибо за ответ!
У Вас
$W\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)=\bigcup\limits_{n=1}^1\omega_1\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)=\omega_1\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)$, где $d_1=\frac{1}{2}<1$
У Вас отображение $W$ является сжимающим, как следствие из теоремы Барнсли(Банаха), и имеет неподвижную точку $(0;0)$. Я хотел бы увидеть пример, где $d_1\geq 1$.

(Оффтоп)

Цитата:

Вообще-то Banach Contraction Principle.

я знаю её как теорема Банаха. Прошу прощения за неграмотность.

(Оффтоп)

Я знаю другую формулировку(по-моему более общую) сжимающего оператора: $\forall x, |\theta |<1\|Ax\|\leq\theta\|x\|$.

Ещё раз спасибо)

[Dan B-Yallay]

Цитата:

У Вас
$W\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)=\bigcup\limits_{n=1}^1\omega_1\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)=\omega_1\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)$, где $d_1=\frac{1}{2}<1$

Нет, у меня $W\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)=\bigcup\limits_{n=1}^2\omega_n\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)=\omega_1\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)+\omega_2\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right), \ d_1=2, \ d_2=-1.5$

Получаем

$$\begin{align*}W\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=w_1\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+w_2\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & -1.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0 \\ 2y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ -1.5y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0 \\ 0.5y \end{pmatrix} \end{align*}$$

vlad_light в сообщении #473532 писал(а):

Я хотел бы увидеть пример, где $d_1\geq 1$.

Dan B-Yallay в сообщении #473006 писал(а):

Рассмотрите простейший случай:$\ldots \textcolor{blue}{ d_1=2}, d_2=-1.5$

(Оффтоп)

Вы поменяли задачу? Или я чего-то не понимаю?

vlad_light в сообщении #473532 писал(а):

Цитата:
Вообще-то Banach Contraction Principle.

я знаю её как теорема Банаха. Прошу прощения за неграмотность.

Я не к названию цепляюсь. Она так и называется Теоремой Банаха о неподвижной точке, Banach Contraction Principle - это её второе название. Но в этой теореме слово аттрактор не используется. Вероятно Вы его спутали со словом contraction.

[vlad_light]

Да, задачу я поменял. Извиняюсь

Цитата:

может ли данный оператор иметь неподвижную точку при $d_i\geq 1$

У меня оператор $W$ равен объединению операторов $\omega_n$, а у Вас - сумме.
Может Вам поможет:
определим множество $\mathcal H(\mathbb R^2)$ - множество всех компактных подмножеств множества $\mathbb R^2$. Отображение $W:\mathcal H(\mathbb R^2)\to\mathcal H(\mathbb R^2)$ является сжимающим, если $\forall B\in \mathcal H(\mathbb R^2),W(B)=\bigcup\limits_{n=1}^N\omega_n (B):|d_n|<1$.
Мой вопрос в предыдущем посте. Я могу привести пример аппроксимации функции $x^2$, если это поможет.

(Оффтоп)

Dan B-Yallay, спасибо за помощь в данном вопросе!