Тождество с биномиальными коэффициентами, доказать индукцией

[yestlmush]

Никак чего-то не пойму, по идее индукция должна работать...

$\frac{C_{n}^{0}}{x} - \frac{C_{n}^{1}}{x+1} + ... + (-1)^n \frac{C_{n}^{n}}{x+n} = \frac{n!}{x (x + 1) ... (x + n)}$.
Соответственно, требуется доказать тождество.

[Руст]

Работает, просто представьте $C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}$ и получите два выражения для $x$ и $x+1$.

[mikroz]

Очевидно, база $n=2$ верна. Пускай для $n$ тождество верно. Сделаем индукционный переход к $n+1$. Действительно, учитывая, что $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}$, получаем выражение
$\frac{C_{n+1}^{0}}{x} - (\frac{C_{n}^{0}}{x+1} + \frac{C_{n}^{1}}{x+1}) + ... + (-1)^n (\frac{C_{n}^{n}}{x+n} + \frac{C_{n}^{n-1}}{x+n}) + (-1)^{n+1} \frac{C_{n+1}^{n+1}}{x+n+1}$. Далее, воспользовавшись индукционным предположением, а также тем, что $\frac{C_{n+1}^{n+1}}{x+n+1} = \frac{C_{n}^{n}}{x+n+1}$, получаем $\frac{n!}{x (x+1) ... (x+n)} - \frac{(n+1)!}{(x+1) (x + 2) ... (x+n + 1)} = \frac{(n+1)!}{x (x+1) ... (x+n+1)}$, откуда и вытекает то, что тождество выполняется.