Размерность пространства матриц с нулевым следом

[caxap]

Сомневаюсь в решении.

Задача 1. Какова размерность пространства вещественных квадратных матриц порядка $n$ с нулевым следом?

Такая матрица $(a_{ij})$ определяется всеми элементами кроме одного на диагонали (пусть $a_{11}$), который подбирается, чтобы сделать след нулевым. Базисом будут матрицы $E_{ij}$, $i,j=\overline{1,n}$ кроме $i=j=1$; их $n^2-1$.

Задача 2. Какова размерность пространства всех многочленов $f(t)$ степени $\le n$ от одной переменной с условием $f(1)=0$?

Аналогично получил $n-1$ (подбираем один коэффициент).

[Kallikanzarid]

Почти все правильно, только базисом будут $E_{ij}, i \neq j$ и $E_{11} - E_{ii},\ i = 1, \ldots, n - 1$.

Многочлен порядка $n$, кстати, полностью определяются своими значениями в фиксированных $n$ точках (многочлен Лагранжа) - тут даже и думать почти не надо :)

Статья про многочлен Лагранжа и китайскую теорему об остатке: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?b=10595

[caxap]

Спасибо. Я совсем туплю: не удосужился проверить соответствие даже базисных векторов нужным условиям.

Во второй задаче базисом будут $n-1$ многочленов $x-1$, $x^2-1$, ..., $x^n-1$?

[Someone]

caxap в сообщении #472043 писал(а):

Какова размерность пространства всех многочленов $f(t)$ степени $\le n$ от одной переменной с условием $f(1)=0$?

Аналогично получил $n-1$ (подбираем один коэффициент).

А сколько коэффициентов у многочлена степени $n$?

Kallikanzarid в сообщении #472046 писал(а):

Многочлен порядка $n$, кстати, полностью определяются своими значениями в фиксированных $n$ точках (многочлен Лагранжа) - тут даже и думать почти не надо

Вы гипнотизируете друг друга, что ли?

caxap в сообщении #472134 писал(а):

Во второй задаче базисом будут $n-1$ многочленов $x-1$, $x^2-1$, ..., $x^n-1$?

Посчитайте, сколько тут у Вас многочленов.

[caxap]

Someone в сообщении #472142 писал(а):

Посчитайте, сколько тут у Вас многочленов.

Ой, извиняюсь Их $n$.

[ewert]

Обе задачки -- на одну ту же тему. В обоих случаях искомое подпространство -- это ядро некоторого линейного функционала. Естественно, что его размерность равна просто размерности всего пространства минус единица, а чему же ещё-то. Зачем ещё базисы какие-то?...

[Kallikanzarid]

Someone
Бывает :)

[Padawan]

ewert в сообщении #472148 писал(а):

Обе задачки -- на одну ту же тему. В обоих случаях искомое подпространство -- это ядро некоторого линейного функционала. Естественно, что его размерность равна просто размерности всего пространства минус единица, а чему же ещё-то. Зачем ещё базисы какие-то?...

Или еще более простым языком: поверхность определяется одним уравнением, значит размерности равна размерности пространства минус один.

[Kallikanzarid]

Padawan в сообщении #472165 писал(а):

Или еще более простым языком: поверхность определяется одним уравнением, значит размерности равна размерности пространства минус один.

С какого перепугу это вдруг проще?

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #472168 писал(а):

С какого перепугу это вдруг проще?

Это действительно в некотором смысле проще (хотя и весьма неаккуратно сформулировано).

Проще в том отношении, что не требует понятия функционала (которое хотя и просто, но далеко не во всех курсах ЛА вводинся). Здесь ссылка на гораздо более общеупотребительный факт -- на то, что размерность пространства решений однородной системы есть коранг матрицы системы. А раз уравнение только одно, т.е. матрица состоит лишь из одной строки, то и её ранг равен единице. Собственно, на этом и основывается утверждение про ядро функционала. Т.е. ссылаться на функционал проще формально, но логически этот факт возникает позже.

[caxap]

ewert
Padawan
Спасибо.

ewert в сообщении #472148 писал(а):

Зачем ещё базисы какие-то?...

В задаче ещё требовалось базис найти, я просто не стал писать.