Задача по планиметрии

[Pressure]

Дано : Точка Q расположена внутри квадрата ABCD так, что QA : QB : QC относятся, как 1 : 2 : 3.
Найти : величину угла AQB
Натолкните на нужную мысль в решении, буду весьма признателен.

[caxap]

(Глупая идея, но лучше я не знаю)

Если дан отрезок $AB$, то множество точек $X$ таких, что $AX:XB=\mathrm{const}$ -- это окружность (это легко доказывается в лоб, заодно получаем её радиус и центр). В задаче нужно найти пересечение двух таких окружностей. А зная положение $Q$, уже как-нибудь можно вычислить угол.

[vvvv]

Можно записать систему из трех уравнений относительно координат точки Q и ее расстояния до точки А.
Решив систему, по теореме косинусов найдем искомый угол, который равен 135 градусов.

[Praded]

vvvv в сообщении #470774 писал(а):

Можно записать систему из трех уравнений относительно координат точки Q и ее расстояния до точки А.

Можно просто трижды применить теорему косинусов для треугольников в единичном квадрате. В итоге преобразований получится кубическое уравнение относительно $\cos\alpha$, которое легко раскладывается на множители. В ответе будет $\alpha=\frac{3\pi}{4}$.