Проверить ряд на сходимость

[Volodya-morda]

Добрый день всем! Недавно встретил такое понятие как дробная часть, стал разбираться и придумал вот такой ряд

$$\sum\limits_{i=1}^n \{\sqrt{i^2+1}\}$$

(фигурные скобки указывают на дробную часть числа). Вопрос в том, чтобы исследовать данный ряд на сходимость при n стремящемуся к бесконечности. Стандартными методами вроде никак(Признак Коши, Раабе,...).

[alex1910]

Корень (1+x) ~ 1+x/2 при малых икс.

[Volodya-morda]

alex1910И как я должен применить ваше предложение к сходимости данного ряда?

[Gortaur]

Володя, вынесите $i$ из под корня - посмотрите, будет ли проще.

[alex1910]

Volodya-morda в сообщении #469445 писал(а):

alex1910И как я должен применить ваше предложение к сходимости данного ряда?

Заменить члены ряда на эквивалентные. Как - мой совет + совет из поста Gortaur.

[Volodya-morda]

То есть, во-первых, Вы полагаете, что значение данной суммы равно значению суммы

$$\sum\limits_{i=1}^n \{i^2\}=0$$

Абсурд!
Во-вторых, n стремится не к нулю, а к бесконечности!

[alex1910]

Volodya-morda в сообщении #469452 писал(а):

То есть, во-первых, Вы полагаете, что значение данной суммы равно значению суммы

$$\sum\limits_{i=1}^n \{i^2\}=0$$

Абсурд!
Во-вторых, n стремится не к нулю, а к бесконечности!

1. Не полагаю.
2. Я в курсе, куда стремится n (и куда стремится 1/n).
3. Прекратите хамить и подумайте над задачей - получите гармонический ряд.

[Volodya-morda]

Значит получается, что из расходимости гармонического ряда следует расходимость данного ряда по признаку сравнения?

[Gortaur]

Volodya-morda

$$ \sum\limits_i \{\sqrt{i^2+1}\} = \sum\limits_i \left\{i\sqrt{1+\frac{1}{i^2}}\right\} = $$

[Volodya-morda]

равно "гармонический ряд". И этот гармонический ряд, как я понял меньше чем данный ряд при любом n.

[Morkonwen]

О чем вы говорите я не пойму, у вас члены ряда неограниченно растут. про какую сходимость может идти речь?

[Morkonwen]

Извините, увидел про дробную часть!

[Volodya-morda]

Спасибо всем за помощь! А теперь еще два ряда(n стремится к бесконечности)
1.

$$\sum\limits_{i=1}^n \{\sqrt[3]{i^3+1}\}$$

2.

$$\sum\limits_{i=1}^n \{\sqrt{i+1}\}$$

[ewert]

Первый -- точно так же. Во втором -- очевидно, нарушается необходимое условие сходимости.

[Volodya-morda]

В первом случае "точно так же" у меня не выходит. Там получается дзета-функция(а это уже сходящийся ряд). Или же как-то можно оценить сверху?
Второй случай мне не очевиден, можно поподробней.