Не факториальные кольца

[sparrow]

Доброго времени суток!
Пытаюсь разобраться с факториальными кольцами. Есть вот такой пример.
Есть кольцо K=Z√(-5). Оно не факториально, так как 6=2∙3=(1-√(-5))∙(1+√(-5)), при этом простота сомножителей доказывается тем, что комплексная норма у них минимальна, так? Но при этом идеал (2) содержится в идеале (2,1-√(-5)) и в идеале (2,1+√(-5)); идеал (3) содержится в идеале (3,1-√(-5)) и в идеале (3,1+√(-5)). Значит идеал (6) раскладывается в произведение четырех простых идеалов 2,1-√(-5));(2,1+√(-5));(3,1-√(-5));(3,1+√(-5)). Тут же все правильно?
А вот с каким примером разобраться не могу. Теперь кольцо K=Z√(-3). Оно не факториально из-за 4, так? Но при этом дальше утверждается, что идеал (2) содержится только в идеале (2,1+√(-3)) - почему не содержится в идеале (2,1-√(-3))? И финальный вопрос - как добавление в это кольцо чисел вида (a+b√(-3))/2 с нечетными a,b сделает это кольцо евклидовым?

[Sonic86]

topic183.html для начала.

sparrow в сообщении #468892 писал(а):

Теперь кольцо K=Z√(-3). Оно не факториально из-за 4

Так не говорят. Говорят $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ не факториально, так как $4 = 2^2 = (\sqrt{-3}-1)(\sqrt{-3}+1)$.
Оформите тему, скажу остальное

[sparrow]

Так нормально? Поможете теперь?

Пытаюсь разобраться с факториальными кольцами. Есть вот такой пример.
Есть кольцо $K=Z[\sqrt {-5}]$. Оно не факториально, так как $6=2\cdot3=(1-\sqrt {-5})\cdot(1+\sqrt {-5})$, при этом простота сомножителей доказывается тем, что комплексная норма у них минимальна, так? Но при этом идеал $(2)$ содержится в идеале $(2,1-\sqrt {-5})$ и в идеале $(2,1+\sqrt {-5})$; идеал $(3)$ содержится в идеале $(3,1-\sqrt {-5})$ и в идеале $(3,1+\sqrt {-5})$. Значит идеал $(6)$ раскладывается в произведение четырех простых идеалов $(2,1-\sqrt {-5})$;$(2,1+\sqrt {-5})$;$(3,1-\sqrt {-5})$; $(3,1+\sqrt {-5})$. Тут же все правильно?
А вот с каким примером разобраться не могу. Теперь кольцо $K=Z[\sqrt {-3}]$. Оно не факториально из-за того, что 4 раскладывается в произведение простых сомножителей не единственным образом, так? Но при этом дальше утверждается, что идеал $(2)$ содержится только в идеале $(2,1+\sqrt {-3})$ - почему не содержится в идеале $(2,1-\sqrt {-3})$? И финальный вопрос - как добавление в это кольцо чисел вида $(a+b\sqrt {-3})/2$ с нечетными a,b сделает это кольцо евклидовым?

[Sonic86]

sparrow в сообщении #468905 писал(а):

Есть кольцо $K=Z[\sqrt {-5}]$. Оно не факториально, так как $6=2\cdot3=(1-\sqrt {-5})\cdot(1+\sqrt {-5})$, при этом простота сомножителей доказывается тем, что комплексная норма у них минимальна, так?

Да.

sparrow в сообщении #468905 писал(а):

Но при этом идеал $(2)$ содержится в идеале $(2,1-\sqrt {-5})$ и в идеале $(2,1+\sqrt {-5})$; идеал $(3)$ содержится в идеале $(3,1-\sqrt {-5})$ и в идеале $(3,1+\sqrt {-5})$. Значит идеал $(6)$ раскладывается в произведение четырех простых идеалов $(2,1-\sqrt {-5})$;$(2,1+\sqrt {-5})$;$(3,1-\sqrt {-5})$; $(3,1+\sqrt {-5})$. Тут же все правильно?

Да. Только не доказана простота идеалов, хотя они таковы.
Еще вроде бы идеалы $(2;1-\sqrt {-5})$,$(2;1+\sqrt {-5})$ вроде бы совпадают, поскольку $1+\sqrt{-5} = 1-\sqrt{-5} + 2 \cdot \sqrt{-5}$. (проверьте, могу наврать)

sparrow в сообщении #468905 писал(а):

Теперь кольцо $K=Z[\sqrt {-3}]$. Оно не факториально из-за того, что 4 раскладывается в произведение простых сомножителей не единственным образом, так?

Да.

sparrow в сообщении #468905 писал(а):

Но при этом дальше утверждается, что идеал $(2)$ содержится только в идеале $(2,1+\sqrt {-3})$ - почему не содержится в идеале $(2,1-\sqrt {-3})$?

По-моему, нет. Опять же, мне кажется, что эти идеалы просто совпадают, как и в предыдущем случае. А даже, если это не так и $(a_1,...,a_n)$ - обозначает идеал из всех линейных комбинаций $a_1,...,a_n$ с коэффициентами из кольца, то тогда в любом случае, если $M \subseteq N$, то $(M) \subseteq (N)$.

sparrow в сообщении #468905 писал(а):

И финальный вопрос - как добавление в это кольцо чисел вида $(a+b\sqrt {-3})/2$ с нечетными a,b сделает это кольцо евклидовым?

Ну, можно проверить, что кольцо получается евклидовым. Можете посмотреть лемму про кольцо $D_3$ в Постникове Теория алгебраических чисел. (она немного длинная, писать влом).

[sparrow]

А как собственно доказать простоту идеалов? Ну или хотя бы как доказать простоту этих чисел в кольце?

-- 16.07.2011, 16:29 --

И мне кажется идеалы не совпадают. Ведь у нас в идеале не просто корень из минус пяти лежит, а с 1...

[Sonic86]

sparrow в сообщении #468952 писал(а):

А как собственно доказать простоту идеалов? Ну или хотя бы как доказать простоту этих чисел в кольце?

Я, если честно, не знаю Для доказательства простоты чисел можно использовать гомоморфизм в известное кольцо и факторизовывать образ элемента, можно использовать специфику кольца (например в кольце $\mathbb{Z}[i]$ число элементов $z$ с модулем $|z|<r$ конечно, а значит можно просто перебрать все делители. Так же и в $\mathbb{Z}_2[x]$)/

sparrow в сообщении #468952 писал(а):

И мне кажется идеалы не совпадают. Ведь у нас в идеале не просто корень из минус пяти лежит, а с 1...

Напомните мне $(a,b)$ - линейное пространство с базисом $\{ a;b\}$ над $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ или над $\mathbb{Z}$? Если второе, то идеалы разные (скорее всего второе, а то в первом получается слишком просто).
...
Точно - второе! Значит разные.

[sparrow]

То есть идеалы все-таки не совпадают. Почему тогда 2 содержится только в одном из них?

[VAL]

Sonic86 в сообщении #468972 писал(а):

Напомните мне $(a,b)$ - линейное пространство с базисом $\{ a;b\}$ над $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ или над $\mathbb{Z}$?

Линейные пространства только над полем бывают. Аналогичную конструкцию над кольцом называют модулем. В частности, всякий идеал кольца является модулем над этим кольцом.

PS (to sparrow): Разумеется идеал $(a)$ всегда содержится в идеале $(a,b)$, независимо от того, что за элементы $a$ и $b$.

[Sonic86]

VAL в сообщении #469045 писал(а):

Sonic86 в сообщении #468972 писал(а):

Напомните мне $(a,b)$ - линейное пространство с базисом $\{ a;b\}$ над $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ или над $\mathbb{Z}$?

Линейные пространства только над полем бывают. Аналогичную конструкцию над кольцом называют модулем. В частности, всякий идеал кольца является модулем над этим кольцом.

Ура! Понял!
Все-таки у меня все равно получается, что идеалы $(2;1-\sqrt {-5})$,$(2;1+\sqrt {-5})$ совпадают, поскольку $1-\sqrt {-5} = - (1+\sqrt {-5})+2$. И значит каждый элемент одного модуля выражается через базис другого модуля и наоборот. Значит они совпадают

[nnosipov]

sparrow в сообщении #468905 писал(а):

Теперь кольцо $K=Z[\sqrt {-3}]$. Оно не факториально из-за того, что 4 раскладывается в произведение простых сомножителей не единственным образом, так?

Нефакториальность этого кольца можно объяснить и не предъявляя конкретного примера неединственности разложения на простые сомножители. Дело в том, что кольцо $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ не является целозамкнутым, а целозамкнутость --- это необходимое условие факториальности. Добавив элементы $(a+b\sqrt{-3})/2$ с нечётными $a$, $b$, мы получим уже целозамкнутое кольцо. То, что оно при этом окажется ещё и евклидовым (а значит, и факториальным) --- специфика этого кольца. Например, в случае с кольцом $\mathbb{Z}[\sqrt{-19}]$ аналогичный фокус уже не выйдет --- получится неевклидово кольцо (это несложно показать), хотя и факториальное (потому что будет кольцом главных идеалов, но это сложный результат).

Кольцо $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ целозамкнуто, но также, как и кольцо $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$, нефакториально (что проще всего подтвердить примером неединственности разложения). В частности, это означает, что условие целозамкнутости не является достаточным условием факториальности. Определение целозамкнутого кольца и примеры таковых можно найти в уже цитированной книге М.М. Постникова.

[sparrow]

А как показать евклидовость и неевклидовость кольца? Определить евклидову норму, правильно? А как это сделать?

И еще вопрос - как показывать простоту идеалов? Или хотя бы простоту комплексного числа в кольце?

[Sonic86]

sparrow в сообщении #469549 писал(а):

А как показать евклидовость и неевклидовость кольца? Определить евклидову норму, правильно? А как это сделать?

Вы книжку Постникова гляньте для начала, прочтите хотя бы 70 страниц. Норма для колец типа $K= \mathbb{Z}[\sqrt[a]{d}]$ легко определяется по рецепту, написанному в книге (глава "Поле $K_l$ и кольцо $D_l$"):
$N(\alpha) = \sigma ^1 (\alpha) \sigma ^2 (\alpha)... \sigma ^{l-1} (\alpha)$ для $\alpha$ - алгебраического числа степени $l$ ($l$ - простое в книге), где $\sigma$ - автоморфизм кольца $K$, вложенного в $\mathbb{C}$ (для $\mathbb{Z}[\zeta]$ все автоморфизмы - это просто перестановки корней из 1, порожденные их возведением в степень, взаимно простую с $l$: $\sigma : \zeta \to \zeta ^k$).
Для колец типа $K= \mathbb{Z}[\sqrt[a]{d}]$ я в Боревиче-Шафаревиче находил быстрый способ вычисления нормы через собственные значения линейного оператора.
Примеры:
в кольце $\mathbb{Z}[\sqrt{d}], d>0$ норма $N(a+b \sqrt{d}) = (a+b \sqrt{d})(a-b \sqrt{d})=a^2-db^2$
в кольце $\mathbb{Z}[i]$ норма $N(a+bi) = (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$
в кольце $\mathbb{Z}[\omega]$, где $\omega ^3=1$ норма $N(a+b \omega ) = (a+b \omega ) (a+b \omega ^2)=a^2-ab+b^2$ (проверьте, я там не помню - "+" или "-")
в кольце $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ норма $N(a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}) = a^3+2b^3+4c^3-6abc$.

sparrow в сообщении #469549 писал(а):

И еще вопрос - как показывать простоту идеалов? Или хотя бы простоту комплексного числа в кольце?

Я умею так: строите гомоморфизм в более известное кольцо и проверяете простоту там (вот для составных идеалов $(a,b)$ просто так не получится).
Пример: доказать, что $10+3i$ простое в $\mathbb{Z}[i]$. Берем описанную выше норму. Она дает гомоморфизм $N: \mathbb{Z}[i] \to \mathbb{N}$. $N(10+3i)=109$ - простое. Значит $10+3i$ тоже простое. (проверьте, кстати, могу наврать, возможно, я явно какое-то условие забыл описать).
В Постникове Вы можете найти доказательство простоты числа $1- \zeta$, где $\zeta : \zeta ^l=1$ (норма числа равна $l$).

-- Вт июл 19, 2011 16:41:12 --

(Оффтоп)

вообще, кстати, книжка довольно хорошая. Я в определенный период времени "измерял" интеллект так: берется эта книжка и читается сначала до момента впадания в полный ступор. Номер последней страницы и "определяет" интеллект

[sparrow]

Спасибо! Осознала.
Книжку прочитаю и интеллект определю :)