Интеграл на сходимость

[Лесной Дух]

Здравствуйте.
Рассматривается интеграл $ \[ \int\limits_0^{ + \infty } {x^a \sin (e^x )dx} \]$
Требуется исследовать сходимость и абсолютную сходимость.

Когда рассматриваю около нуля, там синус константа и получается $ \[ a \ge - 1 \]$

А на бесконечности получается будет знакопеременный ряд, значит для сходимости на бесконечности нужно, чтобы $ \[ a < 0 \]$
Но именно вот этой части в ответе нет, т.е. там просто $ \[ a \ge - 1 \]$

что у меня не так?

[Whitaker]

Разделите разделите интеграл на две части: $\int_{0}^{1}+\int_{1}^{\infty}$

[Лесной Дух]

я это и сделал, и вот у меня первый интеграл сходится, если $ \[ a \ge - 1 \]$
проблема со вторым, получается $ \[ a < 0 \]$
Но такого в ответах нет

[Whitaker]

А если сделать замену во втором интеграле $e^x=t$

[Лесной Дух]

тогда приходим к интегральному синусу, который вовсе в элементарных не выражается

-- Чт июл 07, 2011 22:43:48 --

аа, но зато там уже дирихле может работать. к этому клоните?

[Whitaker]

Ну подумайте, что получиться.

[Лесной Дух]

тогда если замену сделать, то получим:

$\[ \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{t}\ln ^a t \cdot \sin tdt} \]$

здесь синус имеет ограниченную первообразную, а остальное стремится монотонно к нулю, начиная с некотороого икса для любого фиксированного альфа. Значит сходится для любых альфа.
Правильные рассуждения?

[Whitaker]

У вас ошибка в интеграле. Вы же сделали замену во втором интеграле.

[Лесной Дух]

аа, там предел интегрирования от нуля да?

[ewert]

Лесной Дух в сообщении #466233 писал(а):

Правильные рассуждения?

В принципе -- правильные (ошибка в пределе интегрирования значения не имеет). А вот в первом -- существенно неточные.

[Whitaker]

Расскажите пожалуйста как вы исследовали первый интеграл?

[Лесной Дух]

$ \[ \int\limits_0^1 {x^a \sin \left( {e^x } \right)} \]$

при Х стремится к нулю:

$\[ x^a \sin \left( {e^x } \right) = \sin (1)x^a \]$

а это табличный интеграл, который сходится, если $ \[ a \ge - 1 \]$

[Whitaker]

Точка $a=-1$ не входит. Если не ошибаюсь

[Лесной Дух]

ой, да. вы правы.
А точка (-1) - всегда не входит? или нужно каждый раз дополнительно исследовать это?

[ewert]

Лесной Дух в сообщении #466250 писал(а):

А точка (-1) - всегда не входит?

Что значит: "всегда-не всегда". Вы ж вроде как честно пытались исследовать поведение подынтегральной функции в окрестности нуля. Ну так тупо и честно и продолжайте, невзирая ни на какие "ответы".