2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 помогите найти наибольшее значение выражения
Сообщение03.07.2011, 21:03 
$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$

 
 
 
 Re: помогите найти наибольшее значение выражения
Сообщение03.07.2011, 21:06 
Аватара пользователя
$x=\sin a$, $y=\sin b$

и сообразить со знаками

 
 
 
 Re: помогите найти наибольшее значение выражения
Сообщение03.07.2011, 21:17 
alcoholist в сообщении #464829 писал(а):
$x=\sin a$, $y=\sin b$

и сообразить со знаками

А разве правомерно заменять на синусы?

 
 
 
 Re: помогите найти наибольшее значение выражения
Сообщение03.07.2011, 21:21 
Аватара пользователя
kira007 в сообщении #464842 писал(а):
А разве правомерно заменять на синусы?



конечно... область значений $x$ и $y$ совпадает с областью значений синуса... ну, косинус используйте:))))

 
 
 
 Re: помогите найти наибольшее значение выражения
Сообщение03.07.2011, 21:28 
alcoholist в сообщении #464844 писал(а):
kira007 в сообщении #464842 писал(а):
А разве правомерно заменять на синусы?



конечно... область значений $x$ и $y$ совпадает с областью значений синуса... ну, косинус используйте:))))

То есть я заменяю х на $\sin{\alpha}$, а у на $\sin{\beta}$ и тогда имею $\sin{\alpha}\cos\beta}+\sin{\beta}\cos{\alpha}=\sin(\alpha+\beta)$ максимум которого равен 1. Да?

 
 
 
 Re: помогите найти наибольшее значение выражения
Сообщение03.07.2011, 21:55 
Аватара пользователя
еще знаки... $\pm \sin a \cos b\pm\sin b \cos a=\pm\sin(a\pm b)$ но это по барабану

 
 
 
 Re: помогите найти наибольшее значение выражения
Сообщение04.07.2011, 00:13 
alcoholist в сообщении #464864 писал(а):
еще знаки... $\pm \sin a \cos b\pm\sin b \cos a=\pm\sin(a\pm b)$ но это по барабану

Лучше с самого начала побарабанить: очевидно, что максимум будет достигаться именно в первой четверти -- там, где иксы, и игреки неотрицательны. А в ней эта замена переменных взаимно однозначна.

 
 
 
 Re: помогите найти наибольшее значение выражения
Сообщение04.07.2011, 11:18 
kira007 в сообщении #464825 писал(а):
$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$

Согласно неравенству Коши - Шварца получаем:
$$\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\leq(x^2+y^2)(1-y^2+1-x^2)\leq\left(\frac{x^2+y^2+1-y^2+1-x^2}{2}\right)^2=1$$
Тригонометрия, конечно, тоже даёт очень простое решение.

 
 
 
 Re: помогите найти наибольшее значение выражения
Сообщение04.07.2011, 18:08 
Аватара пользователя
ИЗ пушки по воробьям

 
 
 
 
Сообщение04.07.2011, 19:42 
alcoholist в сообщении #465151 писал(а):
ИЗ пушки по воробьям

Но ведь попал же! :mrgreen:

 
 
 
 Re: помогите найти наибольшее значение выражения
Сообщение04.07.2011, 20:19 

(Оффтоп)

arqady в сообщении #465192 писал(а):
Но ведь попал же! :mrgreen:

А кстати, и не вполне. Где доказательство того, что максимум достигается?... Формулировать -- так уж до конца.

---------------------
забыл было спрятать; пардон

 
 
 
 Re: помогите найти наибольшее значение выражения
Сообщение05.07.2011, 05:40 

(Оффтоп)

ewert в сообщении #465210 писал(а):
Где доказательство того, что максимум достигается?

ТС молчит, значит, ему всё ясно, а Вам это остаётся в качестве лёгкого упражнения.
Думаю, Вы справитесь! :lol:

 
 
 
 Re: помогите найти наибольшее значение выражения
Сообщение05.07.2011, 14:54 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

arqady в сообщении #465298 писал(а):
ТС молчит, значит, ему всё ясно

Импликация неверна - ТСы, бывает, проглатывают не морщась всяку бяку и спасибо говорят.

 
 
 
 Re: помогите найти наибольшее значение выражения
Сообщение05.07.2011, 15:22 

(Оффтоп)

bot в сообщении #465393 писал(а):
arqady в сообщении #465298 писал(а):
ТС молчит, значит, ему всё ясно

Импликация неверна - ТСы, бывает, проглатывают не морщась всяку бяку и спасибо говорят.

:mrgreen: То, что проглатывают, - согласен, а с Вашей импликацией - нет! Нельзя, по-моему, обычную беседу двух людей подвергать пристальному логическому анализу. Так мы с точки зрения математики и сказать ничего не сможем правильно. Тут психология важна! :D
Математика - это да, правильное мышление (точнее, математика - это область человеческой деятельности, в которой мы люди выясняем, что такое правильное мышление), но нельзя её, любимую, буквально распространять на все области человеческой деятельности.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group