Дед мороз, Снегурочка и параболы

[Xenia1996]

Дед Мороз придумал 2011 квадратных трёхчленов $f_1, f_2, \dots, f_{2011}$, множеством вещественных корней которых является множество всех целых чисел от 0 до 4021.
Снегурочка решает все уравнения вида $f_i=f_j (i\ne j)$ и за каждый найденный вещественный корень ставит Деду Морозу щелбан.
Какое наименьшее число щелбанов может получить Дед Мороз и как он должен для этого играть?

[ИСН]

Все параболы вставляются одна в другую, после чего их можно увезти на одном грузовике.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #463829 писал(а):

Все параболы вставляются одна в другую, после чего их можно увезти на одном грузовике.

(Оффтоп)

Отправила Ваш перл в цитатник. Ничего?

-- Чт июн 30, 2011 22:09:56 --

Можно даже построить бесконечное семейство парабол, среди корней которых встречаются все целые числа, таким образом, чтобы щелбанов не было совсем.
Я права?

-- Чт июн 30, 2011 22:12:07 --

А если целые на рациональные заменить?
Там же плотное множество

[ИСН]

(Оффтоп)

Смотрю, меня там уже довольно много. Хо-хо!

С целыми - можно, конечно.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #463834 писал(а):

(Оффтоп)

Смотрю, меня там уже довольно много. Хо-хо!

С целыми - можно, конечно.

А с рациональными?

[ИСН]

С рациональными без дополнительных требований - тоже можно: одна $x^2$ и куча $x^2-\left({p\over q}\right)^2$ для всех этих самых. А вот...

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #463836 писал(а):

С рациональными без дополнительных требований - тоже можно: одна $x^2$ и куча $x^2-\left({p\over q}\right)^2$ для всех этих самых. А вот...

Так тогда, получается, и с вещественными можно?
Или уже нет?

[ИСН]

С вещественными то же самое. Разница появится, если всадить дополнительное требование: чтобы у каждой параболы было два разных корня. Тогда рациональные всё равно можно, а те - нельзя.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #463838 писал(а):

С вещественными то же самое. Разница появится, если всадить дополнительное требование: чтобы у каждой параболы было два разных корня. Тогда рациональные всё равно можно, а те - нельзя.

Рациональные можно, потому что берём $\pi$ и вокруг него нагромождаем параболы. Так даже для всех алгебраических можно. И для всех вещественных, не равных $\pi$

[ИСН]

Именно так. А всё полнота.

[AD]

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #463831 писал(а):

Можно даже построить бесконечное семейство парабол, среди корней которых встречаются все целые числа, таким образом, чтобы щелбанов не было совсем.
Я права?

Xenia1996 в сообщении #463831 писал(а):

А если целые на рациональные заменить?

Xenia1996 в сообщении #463837 писал(а):

Так тогда, получается, и с вещественными можно?

Напомнило:

Цитата:

- Скажите, профессор, а правильный треугольник можно конформно отобразить на верхнюю полуплоскость?
- Можно, вот вам формула.
(через неделю)
- Скажите, профессор, а правильный шестиугольник можно конформно отобразить на верхнюю полуплоскость?
- Можно (минут десять думает, выписывает формулу)
(через неделю)
- Скажите, профессор, а правильный $3n$-угольник можно конформно отобразить на верхнюю полуплоскость?
- Можно (раскапывает какую-то статью у себя в чемодане, выписывает длиннющую формулу)
(через неделю)
Профессор, знаете, мне удалось предельным переходом доказать, что и круг можно конформно отобразить на верхнюю полуплоскость!