объединение 2-х эквивалентностей - эквивалентность

[0n0]

Доказать, что объединение 2-х эквивалентностей $R_1$ и $R_2$ , будет эквивалентностью т и тт, когда $R_1\bigcup R_2=R_2\circ R_1 $

Доказать, что произведение 2-х эквивалентностей $R_1$ и $R_2$ , будет эквивалентностью т и тт, когда $R_1\circ R_2=R_2\circ R_1 $

Как решать подобные задачи?

[Gortaur]

Думаю, стоит проверить при каких случаях будут выполняться аксиомы отношения эквивалентности.

[0n0]

По определению
$R_1\circ R_2=\{\langle x,y \rangle|\exists z_1:\langle x,z_1 \rangle \in R_1 \langle z_1,y \rangle \in R_2\}$
и
$R_2\circ R_1=\{\langle x,y \rangle|\exists z_2:\langle x,z_2 \rangle R_2 \langle z_2,y \rangle \in R_1\}$
Два множества равны, значит они состоят из одних и тех же элементов, т.е. есть такие $ x$ и
$y$, что
$\langle x,y \rangle : \langle x,z_1 \rangle \in R_1, \langle z_1,y \rangle \in R_2 $ что
$\langle x,y \rangle : \langle x,z_2 \rangle \in R_2, \langle z_2,y \rangle \in R_1 $

Тут не получается использовать эквивалентность $R_1, R_2$, так как в одном отношении обе пары не имеют общих элементов.