Решить систему уравнений на множествах

[0n0]

$ \begin{cases} A\bigcap X=B&\\ A\bigcup X=C&\\ \end{cases} $

где A,B,C - множества, $B\subseteq A\subseteq C$


Это можно увидеть просто из диаграмм Виенна
$X=((A\bigcup X)\setminus A)\bigcup (A\bigcap X)=(C\setminus A)\bigcup B$
но надо строго доказать, как?

[Gortaur]

Если $A\cap X = B\subset A$, то $X = B\cup Y$, где $Y\subset A^c$. Т.к. $A\cup X = C$, то

$$ A\cup B\cup Y = A\cup Y = C, $$

то есть $Y = C\cap A^c$.

С другой стороны, зная ответ (а Вы знаете его) можно показать, что каждая точка данного множества удовлетворяет уравнениям, а любая другая - нет.

[0n0]

Что такое $A^c$?

[Gortaur]

Дополнение, $A^c = \Omega\setminus A$, где $\Omega$ - пространство, в котором Вы решаете уравнение.

(Оффтоп)

Для данных уравнений можно взять, например $C$ - т.к. в нем лежит все, что Вам нужно -но это формализм, потому что обычно считается, что $\Omega$ задано по умолчанию.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Странное обозначение. Обычно вроде $\overline A$ используют…

[Gortaur]

arseniiv

(Оффтоп)

Тут не все так гладко, $\overline{A}$ нередко обозначает замыкание множества, в то время как $A^c$ происходит от слова complement (дополнение). В англоязычное такие обозначения очень популярны, но я их встретил еще в своем родном провинциальном универе на курсе ТМИ. С другой стороны, если имеется хоть минимально подоплека логики, то конечно встречается и $\overline{A}$ из-за символа отрицания.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Понятно. А штрихи для замыкания не используют разве тоже? Неисповедима математика на обозначения.

[Gortaur]

arseniiv

(Оффтоп)

Такого обозначения замыкания ли не видел вообще, либо уже забыл. Хотя возможно это может использоваться для множества всех предельных точек $A$ (проколотые окрестности которых всегда пересекаются с $A$) - но могу ошибаться.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Для предельных точек встречал! Но забыл, а вы напомнили.