найти область сходимости ряда

[retired]

alena_s, 1) Расписываем члены ряда через суммирование

2) Обозначим просто для удобство через A(x)

3) Умножаем правую и левую часть на весь перебор k={1,...,бесконечности} последовательно т.е. сначало на 1 потом получившееся на 1/2^x, получившееся при вычитании умноженного на 1/2^x и 1 уравнение на 1/3^x и т.д. т.е. получаем уравнения

4) Для удобства, сначала умножим на 1/2^x и вычтем из умножения на 1 и получим

$A(x)\cdot1/2^x - A(x) = 1/2^x\cdot( 1+1/2^x +1/3^x+...+..) - (1+1/2^x +1/3^x+...+..)$

5) Дальше произведем умножение левой и правой части равенства выше на следующий член и вычтем получившееся из предыдущего$A(x)\cdot1/2^x - A(x) = 1/2^x\cdot( 1+1/2^x +1/3^x+...+..) - (1+1/2^x +1/3^x+...+..)$ т.е. получим

$(1/3^x-1)\cdot(1/2^x - 1)\cdot A(x) =1/3^x(\cdot 1/2^x\cdot( 1+1/2^x +1/3^x+...+..) - (1+1/2^x +1/3^x+...+..)) - (1/2^x\cdot( 1+1/2^x +1/3^x+...+..) - (1+1/2^x +1/3^x+...+..))$

=> видно, что таким образом все члены кроме 1 нужно перенести в левую часть нашего уравнения, что привести в виду

$A(x)\cdot(1/2^x - 1)\cdot(1/3^x-1)\cdot....\cdot.. =-1 \Rightarrow A(x)=1/((1-1/2^x)\cdot(1-1/3^x)\cdot...\cdot..) $ => x>1 для нашего случая

[Sonic86]

alena_s в сообщении #459646 писал(а):

нужно взять несобственный интеграл, ряд будет расходиться, если интеграл будет равен 0 и сходиться, если не равен 0

Неверно. В интегральном признаке ряд сходится тогда и только тогда, когда интеграл сходится (а не равен нулю!).

alena_s в сообщении #459648 писал(а):

у меня получилось: n ^(-x)/ln (n) и посчитать надо от +бесконечности до 1

alena_s, Вы путаетесь. Перечитайте теорему с интегральным признаком. Ряд $\sum\limits_{n = n_0}^{+ \infty} a_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл $\int\limits_A^{+ \infty} f(x)dx$, где $f(x)$ - это такая функция, что $f(n)=a_n$. То есть внутренняя переменная суммирования заменяется переменную интегрирования. А Вы что сделали? Вы берете $a_n = n^{-x}$, $n$ - переменная суммирования, $x$ - параметр, и берете интеграл $\int\limits_A^{+ \infty} n^{-x}dx$ не по переменной суммирования, а по параметру! Это неправильно! Надо брать $\int\limits_A^{+ \infty} t^{-x}dt$.

-- Вс июн 19, 2011 10:26:16 --

Наводите мышкой на формулы - смотрите как они пишутся и пишите так же + окружайте формулы долларами:

$f(n)$

(Оффтоп)

retired, выкладывать решения целиком здесь запрещено правилами форума

[retired]

(Оффтоп)

Sonic86, извиняюсь, как-то увлекся