x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3=1

[Xenia1996]

Решить относительно вещественных переменных x, y, z:

$x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3=1$

Мне эта задача показалась тривиальной и я решила решить "словами":

Модуль каждого из неизвестных не превышает 1.
Для таких чисел куб всегда будет меньше квадрата (или равен ему, если само число равно 0 или 1).
Поэтому система может иметь решение только тогда, когда все неизвестные равны 0 или 1, причём число единичек может быть равно только единичке. Таким образом, система имеет лишь одно решение с точностью до перестановки неизвестных - (1, 0, 0).

Решение мне не засчитали, аргументировав необходимостью "вычесть второе уравнение из первого и бла-бла-бла".
Почему?

[PAV]

Вообще идея решения правильная. Другое дело, что может быть стоило оформить чуть более формально, с формулами. Решения "словами" иногда могут содержать подводные камни, какие-то недочеты, которые обнаруживаются при попытке более формальной записи.

[nnosipov]

Не вижу в Вашем рассуждении ошибки.

(Оффтоп)

A propos, уравнение $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$ имеет бесконечно много решений в целых числах (какой-то турнир городов). Это поинтересней будет.

-- Ср июн 15, 2011 17:56:46 --

PAV в сообщении #458290 писал(а):

Решения "словами" иногда могут содержать подводные камни, какие-то недочеты, которые обнаруживаются при попытке более формальной записи.

Ничего подобного здесь не обнаружил (т.е. не смог придраться ни к одной Ксениной фразе).

[Xenia1996]

PAV в сообщении #458290 писал(а):

Вообще идея решения правильная. Другое дело, что может быть стоило оформить чуть более формально, с формулами. Решения "словами" иногда могут содержать подводные камни, какие-то недочеты, которые обнаруживаются при попытке более формальной записи.

В решении данной задачи одними формулами всё равно не обойтись.
Вычти я второе уравнение из первого, получила бы $x^2(1-x)+y^2(1-y)+z^2(1-z)=0$
И всё равно пришлось бы объяснять словами, почему все слагаемые положительны (или 0), а значит, все равны нулю.

-- Ср июн 15, 2011 14:09:53 --

nnosipov в сообщении #458293 писал(а):

A propos, уравнение $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$ имеет бесконечно много решений в целых числах (какой-то турнир городов). Это поинтересней будет.

Если модератор не против, напишу решение здесь.

(3, 3, -3)
(9, 18, -18)
(19, 57, -57)
...
($a=2k^2+1, ka, -ka$)
А с какого именно Тургора? Я не нашла.

******
Забыла минусы проставить.

[nnosipov]

Со знаком ошиблись, а так правильно. Поднаторели Вы в этих фокусах

-- Ср июн 15, 2011 18:15:01 --

Xenia1996 в сообщении #458294 писал(а):

А с какого именно Тургора? Я не нашла.

Сезон 1993/1994.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #458300 писал(а):

Со знаком ошиблись, а так правильно. Поднаторели Вы в этих фокусах

Не кривые у меня ноги ошиблась, просто забыла проставить минусы, уже исправила.

[nnosipov]

А вот это уже формальный повод завернуть решение.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #458302 писал(а):

А вот это уже формальный повод завернуть решение.

В смысле, не засчитать?

[nnosipov]

Ну да, не засчитать (поскольку ответ-то неверный).