Дано несколько точек на окружности

[nnosipov]

единичного радиуса. Докажите, что на этой окружности найдётся ещё одна точка, произведение расстояний от которой до данных будет равно двум.

P.S. Хотелось бы увидеть много красивых решений этой довольно древней задачи. Если уже обсуждалось, просьба сообщить где.

[nnosipov]

Ну хоть одно-то решение кто-нибудь напишет? Уже согласен и на некрасивое.

[TOTAL]

$$2^n \cdot max \left| \prod_{i=1}^{n} \sin(x-x_i)\right|= 2^n \cdot \frac{1}{2^{n-1}} max \left| \sin(nx)+q(x) \right| \ge 2^n \cdot \frac{1}{2^{n-1}} max \left| \sin(nx) \right|=2$$

Здесь максимум берется по всем $x,$ а последнее неравенство следует из того, что при его невыполнении тригонометрический полином $q(x)$ степени меньше $n$ имел бы по крайнеё мере $2n$ корней на $[0; 2\pi)$

[RIP]

topic5420.html
Человеческое решение — post105099.html#p105099 (как обычно, $\zeta=\exp(2\pi\mathrm i/n)$).

[nnosipov]

Всем спасибо, особенно за ссылки. Надо будет вечером без суеты почитать обсуждение. Здесь есть хорошее развитие, попозже об этом напишу. Надеюсь на Ваше внимание.

[nnosipov]

Прочитал обсуждение, но чего-то новенького не нашёл. Стандартный набор средств для доказательства: теорема Руше, принцип максимума (у меня с ним как-то вышло) и только потом --- нормальное решение. Оно, кстати, приведено в книге В.И. Смирнов, Н.А. Лебедев, Конструктивная теория функций комплексного переменного, М-Л: Наука, 1964 (стр. 327, теорема 2). Интерес здесь представляет решение аналогичной задачи, но не для всей окружности, а для какой-то её дуги. Ответ выписывается легко (и экстремальный многочлен также), но очень трудно обосновывается: никаких красивостей в духе ТФКП, а тяжёлая работа по схеме Чебышёва (в этом смысле решение TOTAL самое естественное). Во всяком случае, простого решения найти не удалось. Этот результат (кажется, 2008 года, опубликован в виде препринта и затем в ДАН) был одним из основных в одной кандидатской диссертации, которую мне довелось оппонировать. До сих пор интересно, почему эта почти детская задача так сложно решается.